杭电试题之2062

此题应该说是个简单的DP题，但是有点不好想，而且还有点细节想要说一下，下面就我所有的代码给大家分析一下：

题目的大意是：考虑一个集合 An = { 1, 2, ..., n}。比如，A1={1}，A3={1,2,3}。我们称一个非空子集元素的排列为一个子集序列。对所有的子序列按字典顺序排序。你的任务就是给出第m个子序列。 所谓字典序列就是C语言序列，举个例子hao>haa就是说一个个比只要有大的，后面的就不再看了。

首先我们来看看An一共有多少个子集。

n=1时,只有{1}一个子集合

n=2时，就有:
{1}, {2},
{1, 2}, {2, 1}
4个子集合。

n=3时，有
{1}, {2}, {3},
{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2},
{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}

也许你发现规律了。An子集合的个数为:
C¹_n·A¹₁ + C²_n·A²₂ + ... + Cⁿ_n·Aⁿ_n
这个公式是对的。但我们换个角度看。

n=3时，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}

{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}

{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}

不难发现，An可以按首数字分成n组，而每组里除了第一项，剩下的就是An-1的子集合了。
∴f(n) = n[f(n-1) + 1]
  f(1) = 1

我们拿测试数据3 10来做个示范，解释一下怎么求解。
因为n=3，所以开始数组里1、2、3三个数。
我们知道，n=2时，有4种排列，所以上面n=3可以分成三组，每组5个(加上空集)。
因此第10个在第二组里。所以第一个是2，把2输出。原来的数组里删除2，变成1、3两个数。然后10 - (2 - 1) * 5 = 5，即它在第2组的第5个。
减去首个空集合，5 - 1 = 4 ≠ 0，表示2后面还有数字。
因为A1 = 1是，所以再第2组里又可以分成两组，每组2个(加上空集)。
所以，4在第2组，剩下的数组中，第二个元素是3，所以输出3。再把数组里的3删除，剩下1一个数。
然后4 - (2 - 1) * 2 = 2，既它是第2组的第2个。
减去首个空集，2 - 1 = 1 ≠ 0，表示2后面还有数字。
按上面的方法继续下去，直到n = 0 或 后面为空集为止。
最后输出数组里的第1个元素，就得到2 3 1，就是解了。

从上面的计算可以看出来，本题目的关键是先求的An中每一组的个数g(n)
不难得出:g(n) = f(n) / n
∵f(n) = n[f(n-1) + 1]
∴g(n) = n[f(n-1) + 1] / n = f(n-1) + 1
∵f(n-1) = (n-1) * g(n-1)
∴g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1

我想看到这还是有不少人是迷惑的吧，那么下面就具体点讲：

就是说我们需要一层一层的来做，就想递归一样，每一层可以出一个数字，出来的数字我们就将他删掉，

将后面的作为为一个新的序列，以此向后做，最后就是结果。

大家可以看到上面的g(n)就是f(n)一个子块的的数量，将之分化就可以了。

下面是个代码：

#include <stdio.h>int main(void){    int i, n, s[21];    __int64 m, t;    __int64 c[21] = {0};    for (i = 1; i < 21; i++)        c[i] = c[i-1] * (i - 1) + 1;    while (scanf("%d%I64d", &n, &m) != EOF)    {        for (i = 0; i < 21; i++)            s[i] = (int)i;        while (n-- && m)        {            if (t = m / c[n+1] + ((m % c[n+1]) ? 1 : 0))            {                printf("%d", s[t]);                for (i = (int)t; i <= n; s[i]=s[i+1], i++);                m -= (t - 1) * c[i] + 1;                putchar(m ? ' ' : '\n');            }        }    }    return 0;}就此代码说几点：首先都知道递推式一般都是用字符串做的，在这里用long long就可以了，上面的c[i]就是分析中的g[n]，而构造s[n]的作用就是它主要就是由一个一个数字组成，我们不要想将只弄成一个字符串，然后一个一个输出。比如1,1 2,1 2 3,1 3,1 3 2,   2 ，2 1，2 1 3,2 3,2 3 1,   3,3 1,3 1 2,3 2,3 2 1。如题中的3 10输出2 3 1，我们是先输出2 再输出3，再输出1.

t = m / c[n+1] + ((m % c[n+1]) ? 1 : 0)这一句就是判断一个数m是处于哪个阶段还是上面的3 10，有10/5=2,10%5=0;就处于第二阶段，如果有除不尽的比如说9.9/5=1,9%5=4不等于0所以取1相加之后就是2，就是处于第二阶段，我们不能直接用它当然了，如果你想直接用的话，不要余，就用强制类型转换，也可以。至于后面的s[i]=s[i+1],来说一下，还是上面的例子，当我们判断出10数处于2阶段时我们会将第二阶段的2去掉就变成了 ， 1， 1 3, 3, 3 1，第一个是空的所以也要减去，这时候他的形式就是n=2时候的情形{1}, {2}, {1, 2}, {2, 1}只是这里的2变成了3但是由于i仍然是2，而又要表现出3，所以就要加一。最后一点putchar(m ? ' ' : '\n');这种处理法大家好好想想琢磨琢磨，就不字啊多说了。