hdu 4562 Dice 求期望 推数学公式 (2013多校联合)
来源:互联网 发布:贷款记账软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 20:22
很早就A了这题, 不过个人感觉概率和期望的题没有做过题, 然后狠狠地刷了一个列表。现在回过头来一起整理这一类型的题。
这题的状态转移方程应该是很好推的吧,如果推不出方程,那也不用担心,多做点求期望的题就有感觉了。
设dp[i]表示当前在 已经投掷出 i个 不相同/相同 这个状态时期望还需要投掷多少次。然后dp[0]就是答案
相同的情况:
dp[0] = 1 + dp[1]
dp[1] = 1 + ( (m-1)*dp[1] + dp[2] ) / m
dp[i] = 1 + ( (m-1)*dp[1] + dp[i+1] ) / m
...
dp[n] = 0;
我们拿出i和i+1项来
dp[i] = 1 + ( (m-1)*dp[1] + dp[i+1] ) / m
dp[i+1] = 1 + ( (m-1)*dp[1] + dp[i+2] ) / m
上下相减得 :m * (dp[i] - dp[i+1]) = dp[i+1] - dp[i+2];
令 d[i] = dp[i] - dp[i+1]; 则d[]为公比为m的等比数列, 且d[0] = 1;
所以d[i] = m^i, 然后由列项相消得 dp[0] - dp[i+1] = m^0+m^1+.....+m^i;
令i+1 = n 则 dp[0] = m^0+m^1+.....+m^(n-1);
不相同的情况:
dp[0] = 1 + dp[1]
dp[1] = 1 + (dp[1] + (m-1) dp[2]) / m
dp[2] = 1 + (dp[1] + dp[2] + (m-2) dp[3]) / m
dp[i] = 1 + (dp[1] + dp[2] + ... dp[i] + (m-i)*dp[i+1]) / m
...
dp[n] = 0;
跟相同的情况一样,选出 dp[i] 和 dp[i+1] 这两行相减 得
dp[i] - dp[i+1] = (m-i-1)/m * (dp[i+1] - dp[i+2]);
令 d[i] = dp[i] - dp[i+1]. 则 d[i] = (m-i-1)/m * d[i+1], 且d[0] = 1;
这个公式看上去跟相同时的情况差不多,不过不能往下化简了
但我们可以根据这个递推关系式 求出每个d[i],
dp[0] = 1 + dp[1]
dp[1] = 1 + (dp[1] + (m-1) dp[2]) / m
dp[2] = 1 + (dp[1] + dp[2] + (m-2) dp[3]) / m
dp[i] = 1 + (dp[1] + dp[2] + ... dp[i] + (m-i)*dp[i+1]) / m
...
dp[n] = 0;
跟相同的情况一样,选出 dp[i] 和 dp[i+1] 这两行相减 得
dp[i] - dp[i+1] = (m-i-1)/m * (dp[i+1] - dp[i+2]);
令 d[i] = dp[i] - dp[i+1]. 则 d[i] = (m-i-1)/m * d[i+1], 且d[0] = 1;
这个公式看上去跟相同时的情况差不多,不过不能往下化简了
但我们可以根据这个递推关系式 求出每个d[i],
然后再 对其列项相消 就可以发现 dp[0] = d[0] + d[1] + d[2] + ..... + d[n-1];
套这两个公式,代码很短就能AC了, 所以代码也不给出了。
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