同余定理
来源:互联网 发布:黄子华 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/05 00:03
分三类:口诀套用,化余为一,其他
“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。
例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、,下同】
2、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。
例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。
3、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。
例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。
4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,
称为:“最小公倍加”,也称为:“公倍数作周期”。
余數問題中的一個重要問題就是同余問題,在同余問題解決過程中,推薦代入法和口訣法兩大類。其中口訣法是公倍數做周期,余同取余,和同加和,差同減差的應用,但是有時候會出現余不同,和不同並且差也不同的現象,這就需要我們採用剩余定理進行解決。
剩余定理的原理比較繁瑣,不如直接套用解題方法進行快速解題更能解決行測中的類似問題。下面給出一些例題,對剩余定理的解題方法加以熟練:
【例1】一個數被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數最小是多少?
【華圖公務員考試研究中心解析】題中3、4、5三個數兩兩互質。
則〔4,5〕=20﹔〔3,5〕=15﹔〔3,4〕=12﹔〔3,4,5〕=60。
【例2】一個數被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個數最小是多少?
在1000內符合這樣條件的數有幾個?
【華圖公務員考試研究中心解析】題中3、7、8三個數兩兩互質。
【例3】一個數除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條件的最小的自然數。
【華圖公務員考試研究中心解析】題中5、8、11三個數兩兩互質。
【例4】有一個年級的同學,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,問這個年級至少有多少人 ?
【華圖公務員考試研究中心解析】題中9、7、5三個數兩兩互質。
對剩余定理問題進行直接套用的方式是解決此類題目最快的方法,華圖公務員考試研究中心希望考生記住解題步驟,進行相關問題的解決。
來源:華圖教育
剩余定理的一般情况:
一个数,除以7余3,除以8余6,除以5余2,求满足这些条件的所有三位数。
卡卡西解析:
--------------------------------
一个数除以7余3,可以把这个数字表示为7a+3,同理有5b+2
7a+3=5b+2
7a+1=5b
a=2
35c+17=8d+6
32c+8+3c+3=8d(因为32C+8 肯定是8的倍数,所以不予再考虑)
3c+3=8d
C=7
35*7+17=262
一个整数除300、262、205,得到相同的余数,问这个整数是几?
分析:根据同余的性质:此三数种任何两数的差都应是除数的倍数,即除数应是此三数中任两数的差的公约数。
----------------------------------
解:300-262=38
262-205=57
12 +22 + 32 +……+20012+20022除以7的余数是_____。
-----------------------
方法一:
根据公式:1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
方法二:
÷7=0…1, ÷7=0…4, ÷7=1…2, ÷7=2…2, ÷7=3…4, ÷7=5…1, ÷7=7(余数为0), , ÷7与 ÷7余数相同,同样地, ÷7与 ÷7余数相同,…….所以,每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1+4+2+2+4+1除以7的余数,而(1+4+2+2+4+1)÷7=2(余数 为0),而2002÷7=286,所以原式能被7整除,即除以7的余数为0
今天星期一,1998的1986次方天后星期几?
----------------------------------
1998的1986次=(265*7+3)1986次
3^0
3^1
3^2
3^3 整除7的余数是
3^4 整除7的余数是
3^5 整除7的余数是
3^6 整除7的余数是
由此可见,6次一循环
所以:3的1986(1986/6=331,余数为0)次除7的余数为
3^0/7=1
1+1=2
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