DP基本概括

分类

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。

举例

线性动规

拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等

区域动规

石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等

树形动规

贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等

背包问题

01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（同济ACM第1132题）等

应用实例

最短路径问题 ，项目管理，网络流优化等

 

基本模型

多阶段决策过程的最优化问题。

含有递推的思想以及各种数学原理（加法原理，乘法原理等等）。

在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图）

  多阶段决策问题

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。

 

 

 

 

基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

 

 

 

 

基本模型

根据上例分析和动态规划的基本概念，可以得到动态规划的基本模型如下：

(1)确定问题的决策对象。 (2)对决策过程划分阶段。 (3)对各阶段确定状态变量。 (4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。 (5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。

编辑本段适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

1.最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性 将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

 

 

作用

在编程中常用解决最长公共子序列问题、矩阵连乘问题、凸多边形最优三角剖分问题、电路布线等问题。

搜索

记忆化

给你一个数字三角形, 形式如下:

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大.

无论对于新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：

f[i][j]=a[i][j] + min{f[i-1][j]，f[i-1][j - 1]}(a[i][j]表示当前状态,f[i][j]表示指标函数)

对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么简单了。

解决方法：

我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归函数:

int f(int i,int j,int (*a)[4]){int f1,f2,tmp=0,k;if(i==0||j==0) return a[0][0];if(j==i){for(k=0;k<=i;k++)tmp+=a[k][k];return tmp;}f1=f(i-1,j,a);f2=f(i-1,j-1,a);if(f1<f2) return f2+a[i][j];else return f1+a[i][j];}

 

 

显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为2^n，明显是会超时的。分析一下搜索的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪费，很显然，我们存放一个opt数组：Opt[i, j] - 每产生一个f(i, j)，将f(i, j)的值放入opt中，以后再次调用到f(i, j)的时候，直接从opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是非常实用的.

并且记忆搜索占的内存相对来说较少

计算核心片段：

 

for(int i = n-1; i >= 1; --i) //从倒数第二行开始{for(int j=1; j <= i; j++){if (a[i+1][j][1] > a[i+1][j+1][1]) //左边大{a[i][j][2] = 0; //选择左边a[i][j][1] += a[i+1][j][1];}else //右边大{a[i][j][2] = 1; //选择右边a[i][j][1] += a[i+1][j+1][1];}}}