鹊桥的长度

问题：

@陈利人

有n对喜鹊。每一对可以表示为(x,y)，x、y是喜鹊的编号，并且任意一对，x总是小于y。(c,d)可以连接在(a,b)之后，当且仅当b<c。多对喜鹊连接在一起，就构建成了鹊桥。给定n对喜鹊，请你构建最长的鹊桥，来帮助有情人相会。

PS：这里鹊桥的长度为能连接在一起的喜鹊的个数。

分析I：

在二维上，可以构造一个拓扑图（有向图），边长都为1，然后找出一条最长路径。

时间复杂度O(n^2)。

分析II：

在一维上，先将喜鹊按x排序，用length[i]表示用第i~n只喜鹊，可以建的最长长度。那么：

length[ i ] = max{length[ i+1 ],1 + length[ j ]}，

这里j为满足j>i, v[j].x > v[i].y的最小下标，即： j = min{k | k>i, v[ k ].x > v[ i ].y}。 可以用二分法在log（n）时间内确定出j。

时间复杂度O（nlogn）。空间复杂度O（n）。

代码：

struct Magpie{int x, y;};int getPieBridgeLength(vector<Magpie> &v){if(v.empty())return 0;std::sort(v.begin(), v.end(), [](const Magpie &m1, const Magpie &m2){return m1.x < m2.x;});vector<int> len(v.size(), 0);for(int i = len.size() - 1; i >= 0; --i){auto it = std::upper_bound(v.begin()+i, v.end(), v[i].y, [](int a, const Magpie &m){return a < m.x;});len[i] = std::max(it == v.end()? 1 : 1 + len[it - v.begin()],  i+1 >= len.size() ? 0 : len[i+1]);}return len[0];}

测试代码：

int main() {Magpie arr[] = {{1,3}, {7,10}, {4,5}, {2,4}};vector<Magpie> v(begin(arr), end(arr));cout << getPieBridgeLength(v) << endl;return 0;}