So you want to be a 2n-aire?

描述

游戏者开始是$1的奖金，要求回答n个问题。对每个问题，可以：
1）、退出并保有奖金
2）、回答问题。
如果错误，就退出并什么都得不到。如果正确，那么奖金翻倍，并可继续回答下一个问题。
在回答最后一个问题后，他获得奖金并退出。游戏者想要最大化他期望获得的奖金。
一旦提出了一个问题，游戏者就能以概率p正确回答。对每个问题，假设p是一个随机变量，分布的范围是t<=p<=1。

输入

输入M行数，每一行有两个数字：整数n和实数t, 1 ≤ n ≤ 30, 0 ≤ t ≤ 1。n表示要回答的问题的个数，t表示游戏者能正确回答问题的概率的下限。以两个0表示输入结束。

输出

对每个输入n,t，输出游戏者采用最佳策略时所期望获得的奖金，保留三位小数。

样例输入

1 0.5
1 0.3
2 0.6
0 0

样例输出

1.500
1.357
2.560

这个题目从一开始思路上就有问题，后来结合别人的解题报告来看，终于明白是怎么回事了，而且也突然发现，貌似我适合冒险但不适合赌博……

    我们不妨设a[i]表示正确做完第i道题的收益的期望，显然我们最后要求的就是a[0]咯，但这个先放一放，我们先讨论一下在做第i+1个题目前我们是选择答题呢还是选择放弃呢。

    首先，我们可以直观的想到，如果做完i题就退出的话，就可以得到2^i这么多钱。不妨假设答对第i+1个题的概率为p，那么我们自然会想到用p乘以“某个值”表示答题所获得的收益的期望，如果p乘以这个值大于2^i的话，我们肯定会选择答题咯，因为若是这样答题的话收益的期望是大于不答题的。那么现在问题就来了，这个“某个值”是什么呢？可能的最大值？可能的最小值？还是平均值（或者说是期望）？

    如果做个比喻的话，选最大值的就是冒险狂，选最小值的就是胆小鬼，选平均值的就是接受过良好高等教育的ACMer，一开始我就成了冒险狂……

    后来想想，也确实只有平均值在统计里面才比较有说服力，因此题目中所谓的plays the best strategy就是按我们上面所说的去决策每次究竟是答题还是不答题。上面我们只是对于p是固定值来讨论的，如果我们对p是任意的去讨论的话，显然不答题的平均收益是不变的，因为它和p没关系，仍是2^i，如果答题的话平均收益就应该是(ep+1)/2*a[i+1]，ep就是我们前面讨论的“分水岭”，用表达式写出来就是ep=2^i/a[i+1]，当p>ep，那么p*a[i+1]>2^i，也就是说如果答对这个题我就可以获得a[i+1]这么多钱，再乘答对的概率p就是答第i+1题的收益的期望，如果这个期望大于2^i，那么就会选择答题。当然题目中让算的是总收益，我们再各自乘以答题与否这些情况出现的概率即可，即a[i]=(ep-t)/(1-t)*2^i+(t-ep)/(1-t)*(ep+1)/2*a[i+1]，这个式子值列出了ep>t的情况，对于ep<=t的情况，也可以类似写出表达式。

    现在我们就发现了，计算a[i]是需要用到a[i+1]的，那我们怎么办？倒着算呗。那么a[N]是多少？显然是2^N，因为答对第N个题之后收益的期望自然就是最大的收益。

 

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#define MX 35int N;double T, q[MX];int main(){    q[0] = 1;    for(int i = 1; i <= 30; i ++)         q[i] = 2 * q[i - 1];    while(1)    {          scanf("%d%lf", &N, &T);           if(!N)                 break;            if(fabs(1 - T) < 1e-9)                printf("%.3lf\n", q[N]);          else          {                int i, j, k;                double eq, f = 1, quit;                f = q[N];                for(i = N - 1; i >= 0; i --)                 {                     quit = q[i];                     eq = quit / f;                    if(eq <= T)                    f = (T + 1) / 2 * f;               else                       f = (eq - T) / (1 - T) * quit + (1 - eq) / (1 - T) * (eq + 1) / 2 * f;    }    printf("%.3lf\n", f);          }    }    return 0;}