Linux系统学习笔记：信息的表示

计算机采用二值信号来表示信息，这些二进制的数字称为位。计算机的表示法中数字的位数是有限的，结果太大无法表示时，运算会溢出。计算机有自己的一套整数和浮点数的表示和运算法则，这和现实中的十进制运算是有很大不同的。本篇就来看一下信息在计算机中的表示方法。

Contents

• 信息存储
• 整数
  • 整数运算
• 浮点数

信息存储

计算机以字节作为最小的可寻址的存储器单位。存储器被视作一个大的字节数组，称为虚拟存储器，每个字节由一个唯一的数字标识，称为它的地址，所有地址的集合称为虚拟地址空间。

1个字节有8位，在二进制中值域为 00000000 ~ 11111111 ，十进制的值域为0 ~ 255，十六进制的值域为 00~ FF 。一般为了方便，以十六进制表示字节的值。

计算机中用字长来指明整数和指针的标称大小，虚拟地址以字来编码，所以字长决定了虚拟地址空间的最大大小。字长为32位的计算机的虚拟地址空间最大为4GB，现在64位的机器也很常见了。

在C语言篇已经给出了不同数据类型的存储大小，这里复述一下。下表是C数据类型典型的字节大小（表中还给出了32位的Intel数据类型和GAS后缀）：

C数据类型Intel数据类型GAS后缀32位64位char字节b11short字w22int双字l44unsigned int双字l44long双字l48unsigned long双字l48char *双字l48float单精度s44double双精度l88long double扩展精度t10/1210/12

多字节的对象会被存储为连续的字节序列，对象的地址为字节序列中最小的地址。多字节对象的字节序列也存在一个顺序，在存储器中从最低有效字节到最高有效字节存储的方式称为小端法，从最高有效字节到最低有效字节存储的方式称为大端法。这种字节顺序是处理器芯片决定的。

字符串表示为字符的数组，因此它的存储和字节顺序无关。

例， int 值为 0x01234567 ，位于地址 0x100 处：

大端法：        0x100  0x101  0x102  0x103──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────  ... │  01  │  23  │  45  │  67  │ ...──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────小端法：        0x100  0x101  0x102  0x103──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────  ... │  67  │  45  │  23  │  01  │ ...──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────

涉及到字节顺序的情况主要有三种：

• 网络程序，它可能在不同字节顺序的机器间传输数据。
• 查看机器级程序，读机器代码时常常会碰到这种情况。
• 规避正常类型系统的程序，使用强制类型转换来以不同的类型引用对象。

代码的表示取决于机器的指令和编码方式，不同的机器一般是不兼容的。

整数

C语言有多种整型数据类型，在前面和C语言篇已经总结过了。对于无符号整型，取值范围为 0∼2n−1，有符号整型的取值范围为 −2n−1∼2n−1−1 （C语言保证的范围是 −(2n−1−1)∼2n−1−1）， n 为对应的位数。

有 w 位的整型数 x ，写作[xw−1, xw−2, ..., x0]表示每一位。

无符号整数的值为

B2Uw(x)=∑i=0w−1xi2i

这样 B2Uw 就定义了一个双向映射 B2Uw:{0,1}w→{0,...,2w−1} 。最小值 UMinw=0，用[00...0]表示，最大值 UMaxw=2w−1 ，用[11...1]表示。

有符号整数用二进制补码表示，它将字的最高有效位解释为负权，有符号整数的值为

B2Tw(x)=−xw−12w−1+∑i=0w−2xi2i

最高有效位称为符号位，设为1时为负数，设为0时为非负数。 B2Tw 也定义了一个双向映射 B2Tw:{0,1}w→{−2w−1,...,2w−1−1} 。最小值 TMinw=−2w−1 ，用[10...0]表示，最大值 UMaxw=2w−1−1 ，用[01...1]表示。

几乎所有的机器都用二进制补码表示有符号整数。为保证可移植性，应该使用C标准库中 <limits.h> 定义的 UINT_MAX 、 INT_MIN 、 INT_MAX 。

无符号数和二进制补码之间的转换关系为

T2Uw(x)=B2Uw(T2Bw(x))=x+xw−12w={x+2w,x,x<0x≥0

U2Tw(x)=B2Tw(U2Bw(x))=x−xw−12w={x,x−2w,x<2w−1x≥2w−1

注意C中表达式若同时有有符号数和无符号数，会提升为无符号数进行运算，如 -1 > 0U 为真。

无符号数和二进制补码之间的转换

整数从较小数据类型转换为较大数据类型称为扩展。对于无符号数，在表示的开头加0，称为零扩展；对于有符号数，在表示的开头加最高有效位的值，称为符号扩展。扩展可以保证值不变。

整数从较大数据类型转换为较小数据类型称为截断。截断简单地抛弃高位。对于无符号数，截断后的值为原值取 mod2k ；对于有符号数，截断先将原值取 mod2k ，再转换为有符号数。

整数运算

大部分的编程语言支持固定精度的运算。这可能导致计算结果溢出，即结果超出了数据类型的字长限制。

无符号运算可以视为模运算。对于 w 位的无符号整型数 x 和 y ，无符号之和和加法逆元为

x+uwy=(x+y)mod2w={x+y,x+y−2w,x+y<2w2w≤x+y<2w+1

−uwx={x,2w−x,x=0x>0

无符号乘积为

x∗uwy=(x⋅y)mod2w

两个数的二进制补码运算和无符号运算有相同的位级表示，有

x+twy=U2Tw((x+y)mod2w)=⎧⎩⎨x+y+2w,x+y,x+y−2w,x+y<−2w−1−2w−1≤x+y<2w−1x+y≥2w−1

−twx={−2w−1,−x,x=−2w−1x>−2w−1

x∗twy=U2Tw((x⋅y)mod2w)

一个求二进制补码的加法逆元的技巧是 -x = ~x + 1 。

无符号和二进制补码的加法

整数加减法、移位和位运算只需1个时钟周期，通常乘除法指令要慢得多（现在已经比以前好些了），因此常用加法和移位运算的组合来尝试代替它们。

对于无符号和二进制补码都有 x << k 等价于 x⋅2k 。

对于无符号有 x >> k 等价于 x/2k ，对于二进制补码有 (x<0 ? (x+(1<<k)-1) : x) >> k 等价于 x/2k。这里 >> k 分别为逻辑右移和算术右移。表达式的差异来自于整数除法的舍入，整数除法舍入到0。

浮点数

目前所有的机器都支持IEEE浮点标准。IEEE浮点标准用 V=(−1)s⋅M⋅2E 形式来表示一个数。符号 s 由一个单独的符号位 s 编码， s=1 表示为负数， s=0 表示为正数，对数值0的符号位解释做特殊处理。指数 E 由 k 位指数域exp=ek−1...e1e0 编码，它是2的幂，对浮点数加权。有效数 M 由 n 位小数域frac=fn−1...f1f0 编码，是一个二进制小数，范围在 1∼2−ϵ 之间或 0∼1−ϵ 之间。

单精度浮点格式中， k=8 ， n=23 ，总长32位。双精度浮点格式中， k=11 ， n=52 ，总长64位。

值有三种情况：

• 规格化值：exp的位不是全0和全1。这时指数的值为 E=e−Bias ，e 为exp的无符号值， Bias=2k−1−1 ，可知指数的范围为 2−2k−1∼2k−1−1 。有效数的值为 M=1+f， f 的二进制表示为0.fn−1...f1f0 ，因此 1≤M<2 。
• 非规格化值：exp的位全为0。这时 E=1−Bias=−2k−1 ， M=f ， 0≤M<1 。
• 特殊数值：exp的位全为1。小数域全为0时，表示无穷， s=1 为 −∞ ， s=0 为 +∞ 。无穷用来表示计算溢出。小数域非0时，表示NaN，可用来表示非法运算或未初始化值。

从数轴上看，IEEE浮点数越靠近0越密集，反之越稀疏，绝对值 <1 为非规格化值，绝对值 ≥1 为规格化值，存在两个0值。

从位模式上看，如果把浮点数的位解释为无符号数，它恰好是升序排列的，负浮点数相反。

整数值为0或规格化值，把非0正整数值转换为浮点数，可以将它的二进制表示去掉最高有效位，剩余的位数即为指数的值，加 Bias 得到exp，同时剩余的位左移添0至 n 位得到frac，最后符号位置0。

IEEE浮点数的精度是有限的，标准定义了四种舍入方式：向偶数舍入、向0舍入、向下舍入和向上舍入。

链接: http://www.yeolar.com/note/2012/03/13/linux-info-repr/