【有趣的面试算法题】之二 求1~n的整数中1的个数，递归统计区间块中1的数量

题目：求1~n的整数中1的个数。

常规做法是，先写一个右移判1的子函数，计算每个数里面的1的个数，然后遍历1~n，取和，就是答案。

在百度文库(http://wenku.baidu.com/view/6722a969af1ffc4ffe47ac18.html)中看到有这样一个解法：

//计算整数 1~n 中的1的个数总和ULONGLONG Sum1s(ULONGLONG n) {       ULONGLONG iCount = 0;    ULONGLONG iFactor = 1;     ULONGLONG iLowerNum = 0;    ULONGLONG iCurrNum = 0;    ULONGLONG iHigherNum = 0;     while(n / iFactor != 0)     {         iLowerNum = n - (n / iFactor) * iFactor;        iCurrNum = (n / iFactor) % 10;         iHigherNum = n / (iFactor * 10);        switch(iCurrNum)        {        case 0:              iCount += iHigherNum * iFactor;            break;         case 1:                iCount += iHigherNum * iFactor + iLowerNum + 1;             break;         default:               iCount += (iHigherNum + 1) * iFactor;            break;         }          iFactor *= 10;     }      return iCount;} 

据它说“ 这个方法只要分析N就可以得到f（N），避开了从1到N的遍历，输入长度为Len的数字N的时间复杂度为O（Len），即为O（ln（n）/ln（10）+1）。在笔者的计算机上，计算N=100 000 000，相对于第一种方法的40秒时间，这种算法不到1毫秒就可以返回结果，速度至少提高了40 000倍。”

但不知为何没能运行正确，尽管没有看懂思路，但觉得还蛮有启发，直接从 n 入手分析，避免遍历1~n，于是我研究一会之后，观察到有这么一个现象：在二进制表示中，N位的000...000 ~111...111 之间0 与 1的个数相等！如下图所示：

                                       

于是基于递归法的实现方法如下所示，并且递归深度不会超过 n 的最高非0 bit位数，比较快吧？

//计算整数 1~n 中的1的个数总和ULONGLONG Sum1s(ULONGLONG n) {       if (n <= 2)    {        return n;    }        ULONGLONG iFactor = 3;     ULONGLONG iLen = 1;    while(n >= iFactor) //找出最大的、小于n的、bit位全部为1 的数    {         iFactor <<=1;        iFactor |= 1;        ++iLen;    }      iFactor >>=1;        ULONGLONG iCount =((iFactor + 1)*iLen)>>1; //这一片区域的1 0 数量相等    if ( iFactor == n)    {        return iCount;    }    else    {        return (iCount + n - iFactor + Sum1s(n & (iFactor)));    }    }