hdu 3936 斐波那契数列+规律

 

原文链接：http://blog.csdn.net/jxy859/article/details/6686305

 

Fibonacci数列通项公式∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}

性质：

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1. 　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。   
2.   
3. 　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。   
4.   
5. 　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。   
6.   
7. 　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。   
8.   
9. 　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。   
10.   
11. 　　6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。   
12.   
13.         利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。   
14.   
15. 　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。   
16.   
17. 　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。   
18.   
19. 　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。   
20.   
21. 　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]   
22.   
23.     11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.  

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。 　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。 　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。 　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。 　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。 　　6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。         利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。 　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。 　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。 　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]     11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.

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1. <H3 class="headline-2 bk-sidecatalog-title"><A name=t0></A><A name=2_2></A><SPAN class=headline-content>斐波那契数列的整除性与素数生成性</SPAN></H3>　　每3个数有且只有一个被2整除， <DIV class=spctrl></DIV>　　每4个数有且只有一个被3整除, <DIV class=spctrl></DIV>　　每5个数有且只有一个被5整除， <DIV class=spctrl></DIV>　　每6个数有且只有一个被8整除, <DIV class=spctrl></DIV>　　每7个数有且只有一个被13整除， <DIV class=spctrl></DIV>　　每8个数有且只有一个被21整除, <DIV class=spctrl></DIV>　　每9个数有且只有一个被34整除， <DIV class=spctrl></DIV>　　....... <DIV class=spctrl></DIV>　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）   

斐波那契数列的整除性与素数生成性
　　每3个数有且只有一个被2整除， 
　　每4个数有且只有一个被3整除, 
　　每5个数有且只有一个被5整除， 
　　每6个数有且只有一个被8整除, 
　　每7个数有且只有一个被13整除， 
　　每8个数有且只有一个被21整除, 
　　每9个数有且只有一个被34整除， 
　　....... 
　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是） 

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1. <H3 class="headline-2 bk-sidecatalog-title"><A name=t1></A><A name=2_3></A><SPAN class=headline-content>斐波那契数列的个位数：一个60步的循环</SPAN></H3>　　11235,83145,94370,77415,61785.38190, <DIV class=spctrl></DIV>　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…  

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环
　　11235,83145,94370,77415,61785.38190, 
　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…

本题题意：

本题可以利用性质4 和 6

 定义sum[i]=sigma(p[j]) 1<=j<=i .

有p[i]=f[2*i-1]^2+f[2*i]^2.

则由公式4可知sum[i]=f[2*i]*f[2*i+1].

之后直接求得sum[r]-sum[l-1]即可。

这是我第一次矩阵连乘 用的是预处理f[2^n].

HDU 跑了78ms 第11 估计前10个跑62的 都是贴的同一个模板吧  

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1. #include <cstdio>   
2. #include <cstring>   
3.   
4. typedef long long ll;  
5. const ll mod=1000000007;  
6. ll mtrx[60][2][2];  
7.   
8. void debug (ll a[][2])  
9. {  
10.     printf("%lld  %lld\n%lld  %lld\n",a[0][0],a[0][1],a[1][0],a[1][1]);  
11. }  
12.   
13. void pre_pro()  
14. {  
15.     memset (mtrx , 0 , sizeof(mtrx));  
16.     mtrx[0][0][0]=1;mtrx[0][0][1]=1;  
17.     mtrx[0][1][0]=1;mtrx[0][1][1]=0;  
18.     for (int t=0 ; t<60 ; ++t)  
19.        for (int i=0 ; i<2 ; ++i)  
20.          for (int j=0 ; j<2 ; ++j)  
21.          {  
22.              for (int k=0 ; k<2 ; ++k)  
23.               mtrx[t+1][i][j]+=mtrx[t][i][k]*mtrx[t][k][j];  
24.             mtrx[t+1][i][j]%=mod;  
25.          }  
26. }  
27.   
28. ll fib (ll a)  
29. {  
30.     a--;  
31.     ll mat[2][2]={1,0,0,1};  
32.     ll tmp[2][2];  
33.     for (int p=0 ; a ; a>>=1 , ++p)  
34.     {  
35.         if(!(a&1))continue;  
36.         tmp[0][0]=mat[0][0];tmp[0][1]=mat[0][1];  
37.         tmp[1][0]=mat[1][0];tmp[1][1]=mat[1][1];  
38.         memset (mat, 0 , sizeof(mat));  
39.         for (int i=0 ; i<2 ; ++i)  
40.          for (int j=0 ; j<2 ; ++j)  
41.          {  
42.              for (int k=0 ; k<2 ; ++k)  
43.                  mat[i][j]+=mtrx[p][i][k]*tmp[k][j];  
44.              mat[i][j]%=mod;  
45.          }  
46.     }  
47.     //debug (mat);   
48.     return mat[0][0];  
49. }  
50.   
51. ll sum(ll a)  
52. {  
53.     if(a==0)return 0;  
54.     else return fib(2*a)*fib(2*a+1)%mod;  
55. }  
56.   
57. int main ()  
58. {  
59.     pre_pro();  
60.     int cas;  
61.     //freopen ("in.in","r",stdin);  
62.     //freopen ("out.txt","w",stdout);   
63.     //for (int i=0 ; i<20 ; ++i) debug(mtrx[i]);  
64.     scanf("%d",&cas);  
65.     while (cas--)  
66.     {  
67.         ll l,r;  
68.         scanf("%I64d%I64d",&l,&r);  
69.         printf("%d\n",(sum(r)-sum(l-1)+mod)%mod);  
70.     }  
71.     return 0;  
72. }  

#include <cstdio>#include <cstring>typedef long long ll;const ll mod=1000000007;ll mtrx[60][2][2];void debug (ll a[][2]){    printf("%lld  %lld\n%lld  %lld\n",a[0][0],a[0][1],a[1][0],a[1][1]);}void pre_pro(){    memset (mtrx , 0 , sizeof(mtrx));    mtrx[0][0][0]=1;mtrx[0][0][1]=1;    mtrx[0][1][0]=1;mtrx[0][1][1]=0;    for (int t=0 ; t<60 ; ++t)       for (int i=0 ; i<2 ; ++i)         for (int j=0 ; j<2 ; ++j)         {             for (int k=0 ; k<2 ; ++k)              mtrx[t+1][i][j]+=mtrx[t][i][k]*mtrx[t][k][j];            mtrx[t+1][i][j]%=mod;         }}ll fib (ll a){    a--;    ll mat[2][2]={1,0,0,1};    ll tmp[2][2];    for (int p=0 ; a ; a>>=1 , ++p)    {        if(!(a&1))continue;        tmp[0][0]=mat[0][0];tmp[0][1]=mat[0][1];        tmp[1][0]=mat[1][0];tmp[1][1]=mat[1][1];        memset (mat, 0 , sizeof(mat));        for (int i=0 ; i<2 ; ++i)         for (int j=0 ; j<2 ; ++j)         {             for (int k=0 ; k<2 ; ++k)                 mat[i][j]+=mtrx[p][i][k]*tmp[k][j];             mat[i][j]%=mod;         }    }    //debug (mat);    return mat[0][0];}ll sum(ll a){    if(a==0)return 0;    else return fib(2*a)*fib(2*a+1)%mod;}int main (){    pre_pro();    int cas;    //freopen ("in.in","r",stdin);    //freopen ("out.txt","w",stdout);    //for (int i=0 ; i<20 ; ++i) debug(mtrx[i]);    scanf("%d",&cas);    while (cas--)    {        ll l,r;        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);        printf("%d\n",(sum(r)-sum(l-1)+mod)%mod);    }    return 0;}