prim算法简介及实现

prim算法是基于顶点来实现最小生成树的，我们假设使用邻接矩阵来存储图的，在prim算法实现的过程中，我们需要知道以下两类信息

1.集合T1内各顶点到集合T2中个顶点的权值最小边的权值     //其中T2集合是表示这些集合中的点已经是最小生成树中的点了

2.集合T1内个顶点距离集合T2中哪个顶点的距离最小

为此，我们用两个数组来实现上面两类信息

lowcost[maxn]:用来实现1.

nearvex[maxn]:用来实现2.

实际上如果只是要计算最小生成树的最小代价是不需要使用nearvex[maxn]这个数组的，这个数组只是用来记录在构造最小生成树中的顶点的顺序。

prim算法的思想：

初始：lowcost[k]=edge[v0][k] , nearvex[k]=v0;其中v0指的是从哪点来构造最小生成树。

当lowcost[i]=-1时我们让它表示i顶点加入到了T2集合，

什么样的情况下我们将i结点加入到T2集合呢？

我们选择那些在T1集合中，距离T2集合中点最小的lowcost[k],将该点k加入到集合T2中，

加入后我们应该改变那些在T1集合中点到T2集合中的最小权值，如果edge[k][i]<lowcost[i]

则将lowcost[i]=edge[k][i];nearvex[i]=k;这就完成了一次操作，进行n-1次后，就能构成一个最小生成树

下面附上源码：

 1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define maxn 21 4 #define inf 1000000 5 int n,m; 6 int edge[maxn][maxn]; 7 int lowcost[maxn]; 8 int nearvex[maxn]; 9 void prim(int u0)10 {11     int sumweight=0;12     int i,j;13     for(i=1;i<=n;i++)//顶点是从1开始14     {15         lowcost[i]=edge[u0][i];16         nearvex[i]=u0;17     }18     lowcost[u0]=0;19     nearvex[u0]=-1;20     for(i=1;i<n;i++)//将n-1个顶点加入到顶点集合T221     {22         int min=inf;23         int v=-1;24         for(j=1;j<=n;j++)25         {26             if(nearvex[j]!=-1&&lowcost[j]<min)27             {28                 min=lowcost[j];29                 v=j;30             }31         }32         if(v!=-1)33         {34             printf("%d %d %d\n",nearvex[v],v,lowcost[v]);35             nearvex[v]=-1;36             sumweight+=lowcost[v];37             for(j=1;j<=n;j++)38             {39                 if(nearvex[j]!=-1&&edge[v][j]<lowcost[j])//j在T1集合中&&满足v到j的距离小于j到T2中顶点的最小值40             41                 {42                     lowcost[j]=edge[v][j];43                     nearvex[j]=v;44                 }45             }46         }47     }48     printf("sumweight of the mst is %d\n",sumweight);49 }50 int main()51 {52   int i,j;53   int u,v,w;54   scanf("%d%d",&n,&m);55   memset(edge,0,sizeof(edge));56   for(i=1;i<=m;i++)57   {58       scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);59       edge[u][v]=edge[v][u]=w;60   }61   for(i=1;i<=n;i++)62   {63       for(j=1;j<=n;j++)64       {65           if(i==j)66               edge[i][j]=0;67           else if(edge[i][j]==0)68               edge[i][j]=inf;69 70       }71   }72 prim(1);//从顶点1中构造最小生成树73 return 0;74 }75 76 77 78         79  80    

附上一组测试数据：

prim 的算法的时间复杂度为O(n2)适用于稠密图。