HDU2138

素数的测试:

费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.

    利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n   很可能是素数.

(费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.)

(Carmichael数是非常少的。在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。)

(使用二次探测定理确保该数为素数) 

二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或    x=p-1.
    利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
    如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数( 若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式 ),q是非负整数,考察下面的测试:
    序列:
         a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
    把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).

（转自：http://www.cnblogs.com/DreamUp/archive/2010/09/07/1820702.html）

根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:

0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数

1、随机取一个b，2<=b

2、计算v=b^m mod n

3、如果v==1，通过测试，返回

4、令i=1

5、如果v=n-1，通过测试，返回

6、如果i==j，非素数，结束

7、v=v^2 mod n，i=i+1

8、循环到5

说明:

Miller-Rabin是随机算法

得到的结果的正确率为75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为1-(1/4)^s