[转载 from 子清行]求质数 之 除余法(C语言描述)

[转载 from 子清行]求质数 之 除余法(C语言描述)
【问题描述】：
         试编写一个程序，找出2->N之间的所有质数。希望用尽可能快的方法实现。

【问题分析】：
         这个问题可以有两种解法：一种是用“筛子法”，另一种是从2->N检查，找出质数。
         如果要了解“筛法”，请看另一篇文章《求质数 之 筛法(C语言描述)》。

         现在我来介绍第二种方法。用这种方法，最先想到的就是让从2~N逐一检查。如果是就显示出来，如果不是，就检查下一个。这是正确的做法，但效率却不高。当然，2是质数，那么2的倍数就不是质数，如果令i从2到N，就很冤枉地测试了4、6、8……这些数？所以第一点改建就是只测试2与所有的奇数
就足够了。同理，3是质数，但6、9、12……这些3的倍数却不是，因此，如果能够把2与3的倍数跳过去而不测试，任意连续的6个数中，就只会测试2个而已。以6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5为例，6n,6n+2,6n+4是偶数，又6n+3是3的倍数，所以如果2与3的倍数都不理会，只要测试的数就只留下6n+1和6n+5而已了，因而工作量只是前面想法的2/6=1/3，应该用这个方法编程。

         还有个问题，就是如果判断一个数i是否为素数。按素数的定义，也就是只有1与本身可以整除，所以可以用2~i-1去除i，如果都除不尽，i就是素数。观点对，但却与上一点一样的笨拙。当i>2时，有哪一个数可以被i-1除尽的？没有，为什么？如果i不是质数，那么i=a×b，此地a与b既不是i又不是1；正因为a>1，a至少为2，因此b最多也是i/2而已，去除i的数用不着是2~i-1，而用2~i/2就可以了。不但如此，因为i=a×b，a与b不能大于sqrt(i),为什么呢？如果a>sqrt(i),b>sqrt(i),于是a×b>sqrt(i)*sqrt(i)=i，因此就都不能整除i了。如果i不是质数，它的因子最大就是sqrt(i)；换言之，用2~sqrt(i)去检验就行了。

         但是，用2~sqrt(i)去检验也是浪费。就像前面一样，2除不尽，2的倍数也除不尽；同理，3除不尽，3的倍数也除不尽……最理想的方法就是用质数去除i。

         但问题是这些素数从何而来？这比较简单，可以准备一个数组prime[]，用来存放找到的素数，一开始它里面有2、3、5。检查的时候，就用prime[]中小于sqrt(i)的数去除i即可，如果都除不尽，i就是素数，把它放如prime[]中，因此prime[]中的素数会越来越多，直到满足个数为止！

         不妨用这段说明来编写这个程序，但是程序设计的时候会有两个小问题：
         1.如果只检查6n+1和6n+5？不难发现，它们的距离是4、2、4、2……所以，可以先定义一个变量gab=4，然后gab=6-gab;
         2.比较是不能用sqrt(i)，因为它不精确。举个例子，i=121，在数学上，sqrt(i)自然是11，但计算机里的结果可能是10.9999999，于是去除的数就是2、3、5、7，而不含11，因此121就变成质数了。解决这个问题的方法很简单，不要用开方，用平方即可。例如，如果p*p<=i，则就用p去除i。而且它的效率比开方高。

【程序清单】：
#include <stdio.h>

int creat_prime(int prime[],int n,int total)
{
         register         int         i;
         register         int         j;
         register         int         gab=2;
         register         int         count;
         for(i=7;i<=n;i+=gab)
         {
                 count=1;
                 gab=6-gab;
                 for(j=0;prime[j]*prime[j]<=i;j++)
                 {
                         if(i%prime[j]==0)
                         {
                                 count=0;
                                 break;
                         }
                 }
                 if(count)
                 {
                         prime[total]=i;
                         total++;
                 }
         }

         return total;
}

int main(void)
{
         int         prime[30000]={2,3,5};
         int         total=3;         //找到素数的个数
         int         i;
         int         n=200000;         //要查找的范围(>=6)

         total=creat_prime(prime,n,total);
         for(i=0;i<total;i++)
         {
                 printf("%d ",prime[i]);
                 if(i && !(i%10))
                         putchar('\n');
         }
         putchar('\n');
}

如果你有VC++或其他C编译器，可以去运行一下。
你会发现，会有很多时间去输出。我给个小提示，
假设你编译生成的可执行文件是prime.exe，目录在D:\
那你在命令行下进如D:\然后输入命令 prime >1.txt
这样就可以把结果保存到1.txt。
你会发现在int越界的前提下，它几乎都是瞬间完成的！

当然这段程序还是有可以改进的地方，如果你有更好的建议，请联系我。