poj_3233_Matrix Power Series（二分+矩阵快速幂）

Matrix Power Series

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Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 40 11 1

Sample Output

1 22 3

Source

POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong

题型：数论

题意：A是n*n的矩阵，计算 S = A + A^2 + A^3 + … + A^k。

分析：

首先可以想到用矩阵快速幂算出A^k，但是TLE，因为加的项过多，所以要将计算规模减小。

使用二分的思想进行处理：

对于k=2n，设B = A + A^2 + .. + A^n ，则 S = B * An + B。
对于k=2n+1，S = B * A^n + B + A^(2n+1)。

这样就可以不断递归，每次规模减小一半。

（一开始用了LL，TLE了好久。。。）

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;int n,k,m;struct Matrix{    int mat[31][31];};Matrix Mod(Matrix a){    Matrix res;    for(int i=0;i<n;i++){        for(int j=0;j<n;j++){            res.mat[i][j]=a.mat[i][j]%m;        }    }    return res;}Matrix mul(Matrix m1,Matrix m2){    Matrix ans;    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));    for(int i=0;i<n;i++)        for(int j=0;j<n;j++)            for(int k=0;k<n;k++)                ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+m1.mat[i][k]*m2.mat[k][j]%m)%m;    return Mod(ans);}Matrix pow(Matrix m1,int b){    Matrix ans;    for(int i=0;i<n;i++)        for(int j=0;j<n;j++)            ans.mat[i][j]=(i==j?1:0);    while(b)    {        if(b&1)            ans=mul(ans,m1);        m1=mul(m1,m1);        b/=2;    }    return ans;}Matrix Add(Matrix a,Matrix b){    Matrix res;    for(int i=0;i<n;i++){        for(int j=0;j<n;j++){            res.mat[i][j]=(a.mat[i][j]+b.mat[i][j])%m;        }    }    return res;}Matrix Sum(Matrix b,int t){    Matrix res;    Matrix a=Mod(b);    if(t==1){        res=a;        return res;    }    else{        Matrix k=Sum(a,t/2);        if(t&1){            Matrix o=pow(a,t/2+1);            return Add(Add(k,o),mul(o,k));        }        else{            Matrix o=pow(a,t/2);            return Add(k,mul(k,o));        }    }}int main(){    Matrix a;    scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);    for(int i=0;i<n;i++){        for(int j=0;j<n;j++){            scanf("%d",&a.mat[i][j]);            a.mat[i][j]%=m;        }    }    Matrix ans=Sum(a,k);    for(int i=0;i<n;i++){        printf("%d",ans.mat[i][0]);        for(int j=1;j<n;j++){            printf(" %d",ans.mat[i][j]);        }        printf("\n");    }    return 0;}