常见算法-多项式计算(1)

最近在学算法，做做笔记，便于以后温习。

学习资源：《常用算法程序集》

一。多项式求值

1.一维多项式

问题描述：计算形如

的多项式在指定点x处的函数值。

问题分析：首先，将多项式表述成如下嵌套形式：

然后从里往外一层一层地进行计算。其递推计算公式如下：

最后得到的u即多项式值。

下面，通过代码计算此多项式：

#include <stdio.h>/*  polynome_one函数介绍 功能：计算并返回一维多项式在指定点x处的函数值 参数：           int n:多项式的项数              double x:指定的自变量的值 double *modulus_array:存放n－1次多项式的n个系数的数组 */double polynome_one(int n, double x, double *modulus_array){    int i;    double result_;     //利用推导出的递推公式进行计算    result_ = modulus_array[n-1];        for (i=n-2; i>=0; i--)    {        result_ = result_ * x + modulus_array[i];    }        return result_;  //返回多项式值}int main(){    int i;    double modulus_array[7] = {-20.0, 7.0, -7.0, 1.0, 3.0, -5.0, 2.0}; //初始化系数数组    double x[6] = {0.9, -0.9, 1.1, -1.1, 1.3, -1.3};  //初始化自变量x数组        for (i=0; i<=5; i++) //打印每次x对应的结果。     {        printf("x(%d) = %5.2lf   p(x(%d)) = %13.7e\n", i, x[i], i, polynome_one(7, x[i], modulus_array));    }    return 0;}//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )/*  ****************结果******************* x(0) =  0.90   p(x(0)) = -1.8562268e+01 x(1) = -0.90   p(x(1)) = -2.6715368e+01 x(2) =  1.10   p(x(2)) = -1.9556128e+01 x(3) = -1.10   p(x(3)) = -2.1513028e+01 x(4) =  1.30   p(x(4)) = -2.0875732e+01 x(5) = -1.30   p(x(5)) = -6.3404320e+00*/

2.二维多项式

问题描述： 计算形如的二维多项式在给定点（x，y）处的函数值

问题分析： 将二维多项式变形如下：

令：

则计算si的递推公式如下：

最后计算得到的u即si

最后再将所有的si累加，即可得到最后的解。

下面通过代码计算此多项式

其中，系数矩阵为：

#include <stdio.h>/*  polynome_two函数介绍 功能：计算并返回二维多项式在指定点x处的函数值 参数：           int n:自变量y的最高次数为n－1                 int m:自变量x的最高次数为m－1              double x:指定的自变量x的值              double y:指定的自变量y的值 double *modulus_array:存放二维多项式的系数 */double polynome_two(double *modulus_array, int m, int n, double x, double y){    int i, j;    double result_, each_si, now_xi;    result_ = 0.0;    now_xi = 1.0;        for (i=0; i<=m-1; i++)    {        each_si = modulus_array[i*n+n-1] * now_xi;        for (j=n-2; j>=0; j--)        {            each_si = each_si * y + modulus_array[i*n+j] * now_xi;        }                result_ += each_si;        now_xi = now_xi * x;    }    return  result_;}int main(){    double result_;    double modulus_array[4][5] = {{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0},                                {6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0},                                {11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0},                                {16.0, 17.0, 18.0, 19.0, 20.0}};        result_ = polynome_two(modulus_array, 4, 5, 0.6, -1.3);    printf("p(0.6, -1.3) = %13.7e\n", result_);    }//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )/*  ****************结果*******************
  p(0.6, -1.3) = 3.9665544e+01
*/

3.复数多项式

问题描述：计算形如

的复数多项式在给定复数z时的值。

问题分析：和上面的多项式分析一样，嵌套进行，就不多重复了。关键在于cmul对每组复数相乘的计算过程。

下面通过代码，计算

在z＝1+j时的函数值

#include <stdio.h>/*  cuml函数介绍 功能：计算两个复数乘积   即(a+bj)*(c+dj) = e+fj 参数: 对应复数中的各个值 结果: 对e，f分别计算求得值*/void cmul(double a, double b, double c, double d, double *e, double *f){    double p, q, s;    p = a * c;    q = b * d;    s = (a+b) * (c+d);        *e = p - q;    *f = s - p - q;}/*  polynome_z函数介绍 功能：计算复数多项式在给定复数z(x+yj)时的函数值 参数: double *modulus_r: 存放多项式的实部      double *modulus_r: 存放多项式的虚部               double x: 给定复数z的实部               double y: 给定复数z的虚部              double *u: 返回多项式值的实部              double *v: 返回多项式值的虚部 */void polynome_z(double *modulus_r, double *modulus_i, int n, double x, double y, double *u, double *v){    int i;    double now_r, now_i;    double p, q;    now_r = modulus_r[n-1];    now_i = modulus_i[n-1];    for (i=n-2; i>=0; i--)    {        cmul(now_r, now_i, x, y, &p, &q);        now_r = p + modulus_r[i];        now_i = q +  modulus_i[i];    }        *u = now_r;    *v = now_i;}int main(){    double x, y, u, v;    double modulus_r[4] = {2.0, 2.0, 1.0, 2.0};    double modulus_i[4] = {1.0, 1.0, 1.0, 2.0};        x = 1.0;    y = 1.0;    polynome_z(modulus_r, modulus_i, 4, x, y, &u, &v);    printf("p(1.0+j) = %10.7lf+%10.7lfj", u, v);    }//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )//计算结果：  p(1.0+j) = -7.0000000+ 6.0000000j

二。多项式乘法

1.多项式相乘（实数）

算法本身没什么难度，两个循环，遍历p，q两个多项式各个项的系数相乘，所得结果加到对应结果项上。

下面通过代码计算

#include <stdio.h>/* ***********polynome_mul函数功能介绍*************//* 函数功能：计算两个多项式相乘                      *//* 参数说明：*polynome_first,第一个多项式系数数组     *//*         *polynome_second,第二个多项式系数数组    *//*         *polynome_result,相乘结果多项式系数数组   *//* num_first,num_second,num_result分别对应多项式项数*//* ******************************************** */void polynome_mul(double *polynome_first, double *polynome_second, double *polynome_result, int num_first, int num_second, int num_result){    int i, j;        for (i=0; i<num_result; i++)  //先初始化为0，（下面加法要用到，不初始化出错）    {        polynome_result[i] = 0.0;    }    for (i=0; i<num_first; i++)    {        for (j=0; j<num_second; j++)   //S(i+j) = S(i+j) + P(i)*p(j) 算法核心        {            polynome_result[i+j] = polynome_result[i+j] + polynome_first[i] * polynome_second[j];        }    }}int main(){    int i;    double polynome_first[6] = {4.0, -6.0, 5.0, 2.0, -1.0, 3.0};    double polynome_second[4] = {2.0, 3.0, -6.0, 2.0};        double polynome_result[9];  // 6+4-1    polynome_mul(polynome_first, polynome_second, polynome_result, 6, 4, 9);    for (i=0; i<9; i++)    {        printf("S(%d) = %13.7e\n", i, polynome_result[i]); //打印结果为各个项的系数    }}//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )/*计算结果： S(0) = 8.0000000e+00 S(1) = 0.0000000e+00 S(2) = -3.2000000e+01 S(3) = 6.3000000e+01 S(4) = -3.8000000e+01 S(5) = 1.0000000e+00 S(6) = 1.9000000e+01 S(7) = -2.0000000e+01 S(8) = 6.0000000e+00 */