面试题之数组和分析

数组和分析

原题

有数组A={5,3,8,9,16}，第一次遍历有：A = {3-5,8-3,9-8,16-9}={-2,5,1,7}，数组中元素和为-2+5+1+7=11；第二次遍历有：A = {5-(-2),1-5,7-1}={7，-4,6}，元素和为9.

给定数组A，求第n次遍历之后，数组中元素的和。

分析

处理这样的题目，如果没有直接知道相关的原理，可以自己走一下一些具体的例子，这样就可以发现一些规律，根据这些规律，再去联想解决的完整方法。

经过观察，我们可以发现：

• 对于第k次遍历而言，x_k_1、x_k_2、...、x_k_m，sum = x_k_m - x_k_1

也就是说，第k次遍历结果的和，只与第一个和最后一个元素先关。下面，就来讨论，如何求得第一个和最后一个元素。

我们看题目中的例子，先考虑第一个元素的变化

• 第一次遍历 k = 1时：-2=3-5

• 第二次遍历 k = 2时：7=5-(-2)=(8-3)-(3-5)=8-2*3+5

• 第三次遍历 k = 3时：-11=-4-7=(1-5)-(5-(-2)) = ((9-8)-(8-3)) - ((8-3)-(3-5))=9-3*8+3*3-5

分析到此，想必大家已经能够明白这其中的规律，其实就是杨辉三角，老外叫帕斯卡三角。最后一个节点是类似的。而且，真个方法的时间复杂度与遍历的次数n有关，与数组的大小无关。

【注】杨辉三角，在杨辉的《九章算术》中有记载，那时还叫贾宪三角，只不过后来杨辉的名字非常大，渐渐叫杨辉三角的越来越多。

【分析完毕】