《编程之美》读书笔记（四）——数组分割

题目分析：题意转化为找出n个元素组成的子数组，使得其求和尽可能接近SUM/2 (SUM是2n个元素之和)

解法一：呃。。还真没想过这样解，跳过。

解法二：将目标进一步缩小到小于SUM/2但是尽可能接近SUM/2。

算法思路也比较直接，动态规划呗。

分析题目可以知道，其实题目中蕴含两个维度：一是全集2n个元素，二是子集n个元素。

所以可以设定第一维度k，限定元素全集从1个元素，逐渐地扩张到2n个元素；

当元素全集确定的情况下确定第二维度i，子集中元素个数从1个，逐渐地扩张到min(k,n)个。

当然，因为存在最优子结构【全集k+1下的情况包含了全集k的情况，并且能容易地从全集k的情况扩展到全集k+1】，所以可以使用动态规划。

形式化来表达就是，{S(k,i)}：（（前k个元素中由i个元素组成的集合）之和的取值）的集合

递推公式为{S(k,i)} = {S(k-1,i)} U {vi + arr[k] | vi 属于{S(k-1,i)}且vi+arr[k]<SUM/2}

解法二的问题在于，k每增加1，集合就"几乎"翻倍增加，需要检查一遍上次迭代结束后剩余的所有情况。所以每一步的操作次数上限是k的指数次。因此总体算法复杂度上限是O(2^(2n))，即O(4^n)。

但是，这个界是不紧致的，因为每一步的每个操作后都需要检查新得到的元素是否超过SUM/2或者已经存在于现有集合当中，因此一步结束后，集合并不一定“翻倍”，而是存在一个SUM/2的界。

解法三：怎样才能让第k步的开销与k不再成指数关系。算法三取了个巧，不去维护具体的集合，而是采用数组方式，直接记录x个元素之和为y的布尔信息。省去了维护堆的开销，而且在O(1)时间内查找到某个新加元素是否已经存在于现有的集合中。

算法中第二层循环，在本书第一版是递增，这是个bug，到第二版改成了递减。因为，如果用递增的话，会引起“连锁”效应，同一个arr[k]被加入了多次。如果是倒序的话，则可以避免。

总的来说，这道题是比较典型的动态规划题目，前面也说了思路。还是不得不赞这种思想方法，原问题本身没有什么约束，动态规划自己往两个维度上增加了约束，得到了模式化的从小问题到大问题的扩展方法。