第一章 初识Mathematica

第一章  初识Mathematica

 

1．Mathematica是什么

    Matematica是由美国Wolfram公司研究开发的一个著名的数学软件，它提供了非常强大的功能，能够完成符号运算、数学图形的绘制、甚至动画制作等多种操作。Matematica的基本系统主要是用C语言开发的，因而可以比较容易地移植到各种平台上，Matematica的优势主要是符号运算和强大的图形处理功能，Matematica处理的图形质量好，而且自成一体。

    Matematica是一种强大的数学计算、处理和分析的工具，主要用于解决研究和工程领域中的问题，也可处理一些基本的数学计算。因为Matematica主要是面向有一定数学知识但并不具有较多的计算机知识的用户，所以在科学研究单位和学校中有广泛的应用，Matematica已经成为工程研究人员和学生的最得力的帮手。

Matematica是一个交互式的计算系统，计算是在用户和Matematica互相交换、传递信息数据的过程中完成的。Matematica系统所接受的命令都被称作表达式，系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理，然后返回计算结果。在输入一个数学公式、方程组、矩阵之后，计算机能直接给出结果，用户无须考虑中间的计算过程。Matematica直接支持符号运算，用户只要在计算机上输入数学公式、符号和等式等，就可以很容易地算出代数、积分、三角以及很多科技领域中的复杂表达式的值。Matematica具有显示数学表格和图形的功能，可使用户对问题的理解形象和具体。

图1-1  Mathematica 的简单说明

 

 

2．如何安装Mathematica3.0

    Mathematica3.0的安装软件共有33.9兆，安装后有113兆（典型安装），缺省的安装目录是：C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\3.0

 

图1-2  获取Password对话框

 

    在操作系统环境win98(或其它)下，运行安装软件下的setup.exe便开始安装。安装过程中要求输入Lincense ID号和Password以及公司名称，注意在第一行有一个软件给出的软件编号MathID，先选中该编号并复制到剪贴板，然后切换到安装软件所在目录mathmatic3.0，运行mathpass.exe，在弹出的窗口中编辑栏处粘贴软件编号，单击Generate就可以获得Lincense ID号和Password，分别复制到安装界面指定处，而公司名称可以任意取一个，然后一路回答Next这样就可以完成安装。

 

  

 

3．如何运行Mathematica3.0

进入Mathematica系统的方法不止一种，常用的是从Win98的开始菜单，选择

程序->mathematic 3.0-> mathematic 3.0就可以运行软件了；另一种方法是用Win98中的“新建”“快捷方式”，在Win98 桌面上放置Mathematica图标即可，可谓一劳永逸。

图1-3  启动Mathematica 3.0

 

下面是Mathmatica的简单使用方法：

（1）用户可以在选中的工作窗口（称为NoteBook）中输入要计算的表达式，注意运行时有两个窗口，另一个称为Mathematica的核（Mathematica 3.0 Kernel），它负责处理你的输入和完成计算等工作；

（2）每次使用Mathematica时，第一次计算时间总是比较长，因为Mathematica要进行一些初始化工作，从第二次开始计算就会很迅速了；

（3）用户输入计算公式时和普通的文本输入一样，Mathematica将把每次的输入记录在案，并给每个输入记录用“In[n]”编号，计算结果用”Out[n]”编号，第n个计算结果对应第n 个输入内容。

（4）用户输入完计算公式后，按下“Shift”键和”Enter”键或按数值键盘中的“Enter”键，Mathematica将完成计算。

（5）用户的每一次输入和Mathmatica的每一次输出，以及相对应的输入和输出，都被称为“细胞”。可以看到，细胞都用“]”来标识。你可以单击之来选中一个或者几个细胞。

 

    下面是Mathmatica启动并运行时的界面：

图1-4  运行Mathematica

    大家应该注意到界面中有7个例子，其中后三个例子分别是求极限 、求导数、求积分。也就是说Mathmatica能作微积分运算，而微积分运算只不过是Mathmatica软件的一小部分功能而已！

 

4．Mathematica中有哪些算术运算符

Mathematica中的算术运算符有：+(加)，-(减)，*(乘，也可用空格代替)，/(除)，^(乘方)。

例：

 

 

5．Mathematica中有哪些基本数学函数和常数

    在Mathematica中，定义了一些数学常数，这些数学常数都是精确数。常用的数学常数如下：

数学常数

意义

Pi

π=3.1415926535897932…

E

自然对数的底，e=2.71828…

I

虚数单位, I=

Infinity

无穷大∞

        注意：首字母大写！

例：

    任何高级语言系统里都有指数函数、对数函数和三角函数等常用的数学函数，Mathematica也不例外。下面是常用的数学函数：

变量可为实数或复数的函数

意义

Exp[z]

指数函数e^x

Log[z]

以e为底的对数函数lnz

Log[b,z]

以b为底的对数函数log_bz

Sin[z], Cos[z], Tan[z], Cot[z], Csc[z], Sec[z]

三角函数

ArcSin[z], ArcCos[z], ArcTan[z],

ArcCot[z], ArcCsc[z], ArcSec[z]

反三角函数

Sinh[z],Cosh[z],Tanh[z],Coth[z],Csch[z],Sech[z]

双曲函数

ArcSinh[z], ArcCosh[z], ArcTanh[z],

ArcCoth[z], ArcCsch[z], ArcSech[z]

反双曲函数

例：

注意：

（1）任何函数（包括自己定义的函数在内）后面都使用中括号“[ ]”；

（2）系统定义的函数名称首字母大写；Mathematica是区分大小的！

（3）Mathematica会尽量给出精确的结果，除非你使用了计算近似值的函数；

此外，还有其它一些常用的数值函数：

实变量的数值函数

意义

Floor[x]

取整函数

Abs[x]

绝对值函数

Sign[x]

符号函数

Max[x1,x2,…,xn]或Max[list]

取最大值，list为一集合

Min[x1,x2,…,xn]或Max[list]

取最小值，list为一集合

整数和组合函数：

函数

意义

Mod[m,n]

m用n除的余数

FactorInteger[n]

把整数n分解为素数的乘积

GCD[n1,n2,…]或GCD[s]

最大公约数，s为一集合

LCM[n1,n2,…]或LCM[s]

最小公倍数，s为一集合

Prime[k]

第k个素数

PrimeQ[n]

当n是素数时返回True,否则返回False

n!

阶乘n(n-1)(n-2)…

n!!

双阶乘n(n-2)(n-4)…

Binomial[n,m]

二项式系数

伪随机函数：

Random[]

产生一个0~1之间的随机数

Random[Real,{xmin,xmax}]

产生一个xmin~xmax之间的实数

Random[Integer,{imin,imax}]

产生一个imin~imax之间的整数

 

6．%在Mathematica中代表什么含义

    几乎所有的计算都可能用到前面已经计算好的结果，这时Mathematica提供了一种简单的调用方式：

%

代表上一个的输出结果

%%

代表倒数第二个输出的结果

%n

编号为n的输出结果

例：

    

注意：结果可以是一个数，一个集合，一个矩阵，甚至一幅图形等等！

 

 

7．如何计算结果的近似值

在实际应用中，我们通常需要的是一个精确度很高的数值结果，而不是一个绝对准确但表示非常复杂的结果，比如Sin[2/3]或者一个一元四次方程的解。但如果参与运算的量都是精确的，则Mathematica按精确值的方式输出。我们常用N函数把结果转换为数值结果。

N函数的使用方法如下：

N[表达式]

计算近似值，默认保留6位有效数字

N[表达式,n]

计算近似值，保留n位有效数字

例：

    

 

8．Mathematica对命令的输入有何要求

    一行一般输入一个命令；如果想在一行输入多个命令则必须用“；”隔开（不能用空格或逗号），但用“；”结尾的命令不显示结果；也可在多行输入多个命令，换行时直接按回车键即可。

 

例：

 

9．如何使用帮助

Mathmatica软件提供了丰富的函数和命令供用户使用，要记住所有的函数和命令的使用方法是不可能的。在你需要使用某个函数而你却忘记了其使用方法时，最好的办法就是把光标移动到此函数名称最后按F1键（或者直接按F1键，然后输入要帮助的函数名称），此时Mathmatica将弹出关于此函数使用方法的帮助窗口。特别你可以去看看它给出的例子：“Feather Examples”。你可以把它的输入部分复制到Mathmatica的操作界面NoteBook中，然后自己运行一下，这样来加深对函数使用方法的理解和掌握。

    下面是Sqrt函数的Feather Examples的一部分：

    注意错误提示信息

    作为一个软件它都有它自己的一套规定，用符合规定的格式输入才会得到正确的结果，如果输入错误就会得出错误的结果或者软件不予执行并报告错误信息。注意这些错误信息然后找出错误的地方并修改是掌握软件操作的一个很重要的学习过程；

例：平方根函数Sqrt只能有一个参数，如果用户给了两个参数，软件将提醒用户并不予执行（原样输出）； 

 

 

 

 

10．如何使用热键Ctrl+k输入函数

    Mathmatica软件提供了丰富的函数和命令供用户使用，但要记住所有的函数和命令的名称是不现实的（特别是某些函数的名称很长）。怎么办呢？查资料是一种方法，但有一种更好的方法是按热键“Ctrl+k”。输入命令的前几个字母（多少都可以）后按“Ctrl+k”会弹出以这几个字母开头的命令，这时你可以用鼠标来进行选择；是不是很棒！

例：我想画一个球面，但画三维参数图形的函数我忘记了，但我知道前3个字母是Par，下面不用说大家都知道怎么作了吧！

图1-5  使用热键输入函数

 

 

习题

1．计算下列各式的值

  (1)2¹⁰⁰                      (2)e^7-9I

  (3)sin15°+cos15°          (4)ln(e^-2+1)

  (5)log₅135                  (6)

2．计算{861，1638，2415}的最大公约数；

3．计算{48，105，120}的最小公倍数；

4．计算 ,分别取x=0.12和x=0.67，计算中精确到50位数值；

5．随机产生5个0～100之间的实数，并找出最大值；

6．第100个素数是多少？

7．2¹³+1是素数吗？