2011年大连赛区E题 Number String DP

题目大意：

对于每一个1~n的排列都可以生成一个长度为n-1的字符串，这个字符串包含三种字符，分别是'I'、'D'、'?'。'I'表示下一位的数比当前位的数要大，'D'表示下一位的数比当前位的数要小，'?'表示'I'或者'D'都可以。比如排列3,1,2,7,4,6,5对应的字符串是"DIIDID"。给出一个字符串，求满足该字符串的排列数有多少。

算法实现：

对于某个字符的某一个解，比如对于字符串"DIIDID"的一个解3,1,2,7,4,6,5，我们可以很容易地构造出"DIIDI"的解（去掉最后一个字符）。显然，如果我们把原排列的最后一个数字去掉，剩余的数字是满足这个字符串的。例如3,1,2,7,4,6满足"DIIDI"。但是去掉原排列的最后一个数之后，剩余的数字可能不是一个排列，我们可以把它们变成一个排列，只需保持元素之间的相对大小不变即可。例如3,1,2,7,4,6不是一个排列，我们可以把它们变成：3,1,2,6,4,5，这是一个排列，同时满足"DIIDI"。根据这个想法，我们可以用长度较小的排列构造出长度较大的排列。

举个简单的例子，排列1,3,2是"ID"的一个解，那么我们就可以构造出4个排列：{1,3,2,4}、{2,4,3,1}、{1,4,3,2}、{1,4,2,3}，它们对应的字符串分别是"IDI"、"IDD"、"IDD"、"IDI",这些字符串都包含"ID"。如果构造出来的新排列的最后一个数字比原排列的最后一个数字要大的话，那么新加入的字符就是'I'，否则就是'D'。

cnt[i]表示满足当前的字符串的排列中，以i作为最后一个数字的排列数有cnt[i]个。现在加入一个新字符，相应地，排列也应该加入一个新的数字。对于原有的每一个排列，都能构造出i+1个新排列，并且这i+1个新排列的最后一个数字是从1到i+1的。如果加入的字符是'?'，那么所有构造出来的新排列都能够满足新的字符串。如果加入的字符是'I'，构造出来的新排列中只有最后一个数比旧排列的最后一个数大的新排列才能够满足新的字符串。如果加入的字符是'D'也是同理。据此，可以写出转移方程。朴素地转移方程时间复杂度是O(n^2)，总时间花费是O(n^3)，会超时，因此可以利用前缀和、后缀和把转移的时间花费降至O(n)。

参考代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#define MOD 1000000007#define LL long longusing namespace std;int main(){    char str[1010];    LL cnt[1010],pre[1010],suff[1010];    while(~scanf("%s",str+1))    {        int len=strlen(str+1);        cnt[1]=1;        for(int i=1;i<=len;i++)        {            if(str[i]=='?')            {                int sum=0;                for(int j=1;j<=i;j++)                    sum=(sum+cnt[j])%MOD;                for(int j=1;j<=i+1;j++)                    cnt[j]=sum;            }            else if(str[i]=='I')            {                pre[0]=0;                for(int j=1;j<=i;j++)                    pre[j]=(pre[j-1]+cnt[j])%MOD;                for(int j=1;j<=i+1;j++)                    cnt[j]=pre[j-1];            }            else            {                suff[i+1]=0;                for(int j=i;j>=1;j--)                    suff[j]=(suff[j+1]+cnt[j])%MOD;                for(int j=1;j<=i+1;j++)                    cnt[j]=suff[j];            }        }        LL sum=0;        for(int i=1;i<=len+1;i++)            sum=(sum+cnt[i])%MOD;        printf("%lld\n",sum);    }    return 0;}