校招季——编程题目（15、16） 约瑟夫问题 最大子矩阵和

15.      约瑟夫问题（题目042）

题目：

n个人围成一圈，从第一个开始报数，第m个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。求最后剩下的人的序号。例如n=6，m=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。最后剩下1号。

解答：

思路：

如果要打印整个过程，有3种方法：

1.     链表法：产生长度为n的循环链表，然后每遍历m次输出当前序号，并删除节点，直到链表中只有一个元素为止。

2.     数组法：创建一个辅助数组，初始都为0，然后每遍历m个为0的位置就输出当前序号，并将该位置的值改为1，直到数组大小变成1为止。

3.     数组法：创建一个辅助数组，其中保存编号，每删除一个就将后面的编号前移。

这3种方法的时间复杂度都是O(n*m)，如果只需要输出最后的序号，则可以利用一些数学手段寻找规律，简化过程。

为了简化问题，我们假定序号从0开始。

对于n个人的情况，第1个杀掉的人肯定是(m-1)%n号，这时剩下的人记为m，m+1，…，n-1，0，…，m-2，将它们重新记为0，1，2，…，n-2，其中的对应关系为：

X = (x’ + m) % n

其中x为n个人时的序号，x’为n-1个人时的序号，令f(n)为n个人时最后剩余的人的序号，则f(n)和此时的f(n-1)应该对应着同一个人，且其编号有如上式的对应关系，即：

f(n) = (f(n-1) + m) % n

其初始条件为f(1)=0。返回结果时再将f(n)+1，从而变换成序号从1开始的情况。

int Josephus(int n, int m){    int result = 0, i;    for (i = 2; i <= n; ++i)        result = (result + m) % i;    return result + 1;}

16.      最大子矩阵和（题目052）

题目：

输入一个M*N的矩阵，其中每个元素为有正有负的整数，输出它的最大的子矩阵元素和。如果不存在矩阵和为正数的子矩阵，返回0。

解答：

方法1：

简单的三重循环求每个子矩阵的矩阵和，返回最大值，时间复杂度O(m³n³)。

方法2：

定义一个大小也为m*n的新矩阵sub_sum，其中sub_sum[i][j]表示子矩阵{0,0}~{i,j}的矩阵和。

sub_sum[i][j] = sub_sum[i-1][j] + sub_sum[i][j-1] - sub_sum[i-1][j-1] + mt[i][j];

则对任意子矩阵{a,b}~{c,d}，它的矩阵和为：

sum = sub_sum[c][d] - sub_sum[c][b-1] - sub_sum[a-1][d] + sub_sum[a-1][b-1];

总的时间复杂度为O(m²n²)。

方法3：

利用最大子序列和的性质，求出[si, ei]范围内每列的和，再从其中找出最大连续子序列的和，就是要求的结果。时间复杂度O(mn²)。

int MaxSubMatrixSum(const Matrix *mt){    int rows = mt->rows, cols = mt->cols ,size = cols * sizeof(int);    int *col_sum = malloc(size);    int si, ei, j, max_sum = 0;    for (si = 0; si < rows; ++si)    {        memset(col_sum, 0, size);        for (ei = si; ei < rows; ++ei)        {            for (j = 0; j < cols; ++j)                col_sum[j] += mt->data[ei][j];            int sum = MaxSum(col_sum, cols);            if (sum > max_sum)                max_sum = sum;        }    }    return max_sum;}