Treap原理和实现方法

Treap是一棵二叉搜索树，只是每个节点多了一个优先级fix，对于每个节点，该节点的优先级小于等于其所有孩子的优先级。

当然，引入优先级fix的目的就是防止BST退化成一条链，从而影响查找效率。

 

所以，这样看来就是：Treap中对于节点的关键字key来说，它是一棵二叉搜索树，而对于fix来说，它是一个最小堆，所以

Treap可以看成是Tree+Heap，只是这里的Heap不一定是完全二叉树。Treap的平均时间复杂度为log(n).

 

Treap跟笛卡尔树几乎是一模一样的，只是用途不同。

笛卡尔树是把已有的一些（key, fix）二元组拿来构造树，然后利用构树过程和构造好的树来解决LCA,RMQ等等问题。而

Treap的目的只是对一些key进行二叉搜索，但是为了保证树的平衡性，为每个key随机地额外增加了一个fix属性，这样从概

率上来讲可以让这棵树更加平衡。

 

对于Treap来说，主要有几大操作：插入，删除，查找，旋转，找第K大元素，找关键字x的排名，计算Treap的高度，删除

Treap，其它的操作比如合并，分离，反转等等以后再说，另外，对于Treap来说，它的中序遍历的结果就是按照关键字从小到

大的顺序排列的。

 

 

下面用一个题来看看Treap的各种操作。

题目：http://poj.org/problem?id=1442

 

题意：给一个序列，然后给出m个查询，每次查询输入一个数x，对于第i次查询，输出前x个数中第i大的关键字的值。

 

分析：我们可以用其它数据结构解决，这里我们先学用Treap怎么做吧，方法就是：每次我们都插入前x个数中没有插过的，当

然程序中我们用index来划分界限，然后输出Kth(root,i)即可。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <stdio.h>using namespace std;struct Treap{    int size;    int key,fix;    Treap *ch[2];    Treap(int key)    {        size=1;        fix=rand();        this->key=key;        ch[0]=ch[1]=NULL;    }    int compare(int x) const    {        if(x==key) return -1;        return x<key? 0:1;    }    void Maintain()    {        size=1;        if(ch[0]!=NULL) size+=ch[0]->size;        if(ch[1]!=NULL) size+=ch[1]->size;    }};void Rotate(Treap* &t,int d){    Treap *k=t->ch[d^1];    t->ch[d^1]=k->ch[d];    k->ch[d]=t;    t->Maintain();  //必须先维护t，再维护k，因为此时t是k的子节点    k->Maintain();    t=k;}void Insert(Treap* &t,int x){    if(t==NULL) t=new Treap(x);    else    {        //int d=t->compare(x);   //如果值相等的元素只插入一个        int d=x < t->key ? 0:1;  //如果值相等的元素都插入        Insert(t->ch[d],x);        if(t->ch[d]->fix > t->fix)            Rotate(t,d^1);    }    t->Maintain();}//一般来说，在调用删除函数之前要先用Find()函数判断该元素是否存在void Delete(Treap* &t,int x){    int d=t->compare(x);    if(d==-1)    {        Treap *tmp=t;        if(t->ch[0]==NULL)        {            t=t->ch[1];            delete tmp;            tmp=NULL;        }        else if(t->ch[1]==NULL)        {            t=t->ch[0];            delete tmp;            tmp=NULL;        }        else        {            int k=t->ch[0]->fix > t->ch[1]->fix ? 1:0;            Rotate(t,k);            Delete(t->ch[k],x);        }    }    else Delete(t->ch[d],x);    if(t!=NULL) t->Maintain();}bool Find(Treap *t,int x){    while(t!=NULL)    {        int d=t->compare(x);        if(d==-1) return true;        t=t->ch[d];    }    return false;}int Kth(Treap *t,int k){    if(t==NULL||k<=0||k>t->size)        return -1;    if(t->ch[0]==NULL&&k==1)        return t->key;    if(t->ch[0]==NULL)        return Kth(t->ch[1],k-1);    if(t->ch[0]->size>=k)        return Kth(t->ch[0],k);    if(t->ch[0]->size+1==k)        return t->key;    return Kth(t->ch[1],k-1-t->ch[0]->size);}int Rank(Treap *t,int x){    int r;    if(t->ch[0]==NULL) r=0;    else  r=t->ch[0]->size;    if(x==t->key) return r+1;    if(x<t->key)        return Rank(t->ch[0],x);    return r+1+Rank(t->ch[1],x);}void DeleteTreap(Treap* &t){    if(t==NULL) return;    if(t->ch[0]!=NULL) DeleteTreap(t->ch[0]);    if(t->ch[1]!=NULL) DeleteTreap(t->ch[1]);    delete t;    t=NULL;}void Print(Treap *t){    if(t==NULL) return;    Print(t->ch[0]);    cout<<t->key<<endl;    Print(t->ch[1]);}int val[1000005];int main(){    int n,x,m;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        for(int i=1; i<=n; i++)            scanf("%d",&val[i]);        int index=1;        Treap *root=NULL;        for(int i=1; i<=m; i++)        {            scanf("%d",&x);            for(int j=index; j<=x; j++)                Insert(root,val[j]);            index=x+1;            printf("%d\n",Kth(root,i));        }        DeleteTreap(root);    }    return 0;}