不断减少时间复杂度的一个例子

        问题：给出N张写有数字(k1, k2, ..., kn)的牌 和 一个数字M, 从中抽4次(每抽完一次要放回)， 判断是否存在抽取4次牌上数字的和为M的组合是否存在。

                   1 <= n <= 1000,  1 <= m <= 10^9, 1 <= ki <= 10^6 

        输入：n = 3, m = 10, k = {1, 3, 5}        n = 3, m = 9, k = {1, 3 , 5}

        输出：yes(1, 1, 3,  5)                            no(不存在取4次和为9的情况啦)

        

        (1)最容易想到的方法当然是暴力枚举啦， 那么抽取4次，那么就需要4层循环了，时间复杂度为O(n^4)

for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {for (k = 0; k < n; k++) {for (l = 0; l < n; l++) {if (m == cards[i] + cards[j] + cards[k] + cards[l]) {flag = true;break ;}}}}} // O(n^4)

        题目输入范围可以到1000， 那么上面的将会超时啦。

         (2)要判断是否m = cards[i] + cards[j] + cards[k] + cards[l]， 那么可以判断cards[l] = m - cards[i] - cards[j] - cards[k]是否存在(二分查找)。O(n^3*logn)

int bin_search(int* arr, int left, int right, int key) {int mid;while (left <= right) {mid = (left + right)>>1;if (arr[mid] == key) {return mid;} else if (arr[mid] > key) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}return -1;} 

sort(cards, cards + n);for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {for (k = 0; k < n; k++) {key = m - cards[i] - cards[j] - cards[k];if (!flag && bin_search(cards, 0, n, key) > 0) {flag = true;}}}} // O(n^3*logn)

          时间复杂度减小了， 但还是不能满足哦。

          (3)按照上面的思路， 那么我们可以查找cards[l] + cards[k] = m - cards[i] + cards[j]哦， 那么需要一个n*n的数组来保存cards[i] + cards[j]的和哦。O(n^2*logn^2)

k = 0;for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {nnCards[k++] = cards[i] + cards[j];}}sort(nnCards, nnCards + k);for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {key = m - cards[i] - cards[j];if (!flag && bin_search(nnCards, 0, k, key) > 0) {flag = true;}}} // O(n^2*logn)

           好了， 时间复杂度降为O(n^2*logn^2)了， 但空间复杂度增加了， 需要一个存放n*n的数组， 那么1000*1000的话还是有点大了吧， 时间换空间？

           这也算一种技巧，暴力搜索的时候多想想能不能降低时间复杂度吧。