堆和堆排序

堆heap与内存分配中的堆是完全不同的两个概念，只是由于历史的原因才有区别。堆是一个很形象的概念，好比一堆石子，大的堆在底下，小的堆在顶上，这样才能稳定。也即堆是有序的结构，有序体现在顶层的node比底层的node在某种比较条件下小,或者说parent要比child小。而堆的无序体现在sibling之间是没有顺序的。可以用完全二叉树的线性表示来表示堆。

堆的操作有两个核心的问题，一是对于一个建好的堆，堆顶元素弹出后如何保持堆的性质，而是如何由一个无序的数组构建堆？
1.堆顶元素弹出后保持堆的性质的调整方法：交换下沉法

首先将最后一个元素放在堆顶的位置，注意，此时该堆顶元素的左右子树都是有序的堆。
然后判断两个孩子哪个小，取较小者与之交换，即将堆顶这个大石头下沉到右子树中。这时左子树仍然保持堆的结构，且堆顶元素比左右子树都小。
大石头到了右子树，一直下沉下去直到该大石头不会破会当前层的堆的性质为止。

2.由初始的无序线性结构构建堆的过程（堆排序heap sort 的过程：原地排序，仅需要交换用的一个记录的辅助空间）

设堆中有n个元素，则该元素必为叶子节点，其parent为floor(n/2). floor(n/2)后面的元素都是叶子节点，这是由完全二叉树的性质决定的。floor(n/2)后面的元素可以是无序的，因为堆的性质决定了同一层的sibling不需要有序，下面的层也不需要有序。
因此初始建堆的不需要考虑floor(n/2)后面的元素。从floor(n/2)元素开始，现在底层构建出堆的性质，然后从floor(n/2)-1,floor(n/2)-2,floor(n/2)-3的顺序依次建堆。注意，这里的思想是在考虑第i个元素时，其底层已经是建好的堆，因此问题又回到了第一个问题，即在左右子树有序的条件堆顶元素太大，应该下沉调整为有序。可见初始建堆的过程还是比较代价大，但是一旦建好了后面操作的代价就小了。而且可以初始时用较少的元素建堆，逐渐添加元素。

3.其他操作：插入元素

该操作非常简单，先将要插入的元素附在末尾，因为除了该元素，数组的其他部分已经有了堆的性质，因此只要将该元素上浮即可，一直找到一层合适的位置（即不必其parent大），而在上浮的过程中，堆的其他部分的性质没有受到影响。

4.算法复杂度分析
当n较小时堆排序的性能不佳（堆排序渐进优化，n小时低阶项起作用大），但是当n很大时可以。设完全二叉树的深度为k，设在位置h处下沉，则最坏需要下沉h-1次。若数据个数为n，则h=logn，故下降logn次。
建堆的过程自底层开始向上走，树根处得调整要下降log（n-1）次，第二层下降log（n-2）次，
因此下降的次数为log（n-1）+log（n-2）+log（n-3）+……+log2<=nlogn
因此最坏情况下也是nlogn这一点比quicksort性能好，quicksort只是平均要nlogn。