一个常用定理表 - [武林秘籍…
来源:互联网 发布:cp雾化器做芯数据 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 09:19
以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明!
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) =n^2
1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n +1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3
1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n!= (n + 1)! - 1
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =n*(n + 1)*(2n + 1) / 6
1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n *n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2
2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 =2n*(n+1)*(2n+1) / 3
1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! =1 - 1/(n+1)!
2^(n + 1) < 1 +(n + 1)2^n
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 =(n*(n + 1) / 2)^2
1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2))= 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/
(2*4*6*...*(2n+2))
1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1/ ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))
1/2n <=1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 /sqrt(n+1)
2^n >= n^2 ,n=4, 5,...
2^n >= 2n + 1,n=3,4,...
r^0 + r^1 + ... + r^n< 1 / (1 - r), n>=0,0<r<1
1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n< r / (1-r)^2, n>=1,0<r<1
1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n/2^n < 2, n>=1
(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n)<= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ...a(i)是正数 注:()用来标记下标
cos(x) + cos(2x) + ... +cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) !=0
1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... +n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 *x) / (2 * sin(x/2))
其中sin(x/2) != 0
5^n - 1能被4整除
7^n - 1能被6整除
11^n - 6能被5整除
6*7^n - 2*3^n能被4整除
3^n + 7^n - 2能被8整除
n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) /2个区域
定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/k
则
1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + n
H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n +1) * H(n) - n
1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n)= n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4
欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0)则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0)则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
若N>2,欧拉函数E(N)必定是偶数
若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)
若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an,那么
E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)
若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)
因子和:
max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) /2
ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m'
如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ...,mn)
Euler 定理
若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % m
Fermat小定理
p为素数,对任意的a有 a^p % p = a % p
p为素数
p为素数
一个奇数a的平方减1都是8的倍数
任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数
当a是整数时,a(a-1)(2a-1)是6的倍数
当a是奇数时,
n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ..., an都是整数。
如果它有有理数的根,证明这个根一定是整数,而且这个数一定是an的因子。如果不是整数,就一定是无理数。
设a,b都是正整数,a<b而gcd(a,b) = 1 ,如果存在一个素数p,它能够整除b,但是不能够整除10,则a/b一定不能够化成有限小数。如果b=2^a *5^b,其中a,b都是非负整数,则a/b能化成有限小数。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1,如果a/b能表示成纯循环小数,则我们有gcd(b, 10) = 1。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1,令h是一个最小的正整数,使得10^h 与1 关于b同余,那么a/b可以表示成纯循环小数
0.d1d2d3...dh。
设b是一个正整数且gcd(10, b) = 1,令h是一个最小的正整数,能使得10^h 与1关于b同余,则h能够整除Euler(b)
设a, b, b1都是正整数,a < b, gcd(a, b) = 1, b1> 1, gcd(b1, 10) = 1。b = 2^c * 5^d * b1, 其中c,d都是非负整数,且不同时为0, 令h是一个最小的正整数,使得 10^h 与1 关于b1同余,则当c>=d时,我们有a/b = 0.a1a2...aca'(c+1)...a'(c +h)
设0.a1a2...an...不能换成有限小数,也不能化成循环小数,则它不能化成分数。
设p是一个素数,m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。令
a=p^m, 当b=0的时候,a的开n次方是一个整数,当1<= b <=n - 1时,a的开n次方不能表示为分数。
设p是一个素数,m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。令
a=p^m, 当b=0的时候,a的开n次方是一个整数,当1<= b <=n - 1时,a的开n次方=b+c, 其中b是一个正整数而c是一个无限小数但不是循环小数。
设a是一个正整数,当a的开n次方=b+c中b是一个正整数而0<c<1时,则a的开n次方不能表示成为分数,并且这时c是一个无限小数但不是循环小数。
(4b^3 + 3b) / (4b^2 + 1) <= b + 1 / (2b + 1/2b)<=
b + 1/(2b
(16b^5 + 20b^3 + 5b) / (16b^4 + 12b^2 + 1) <=根号b平方+1 <= (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)
8*8棋盘2牌的完美覆盖数目为12988816=2^4 *901^2
一张m行n列棋盘有一个b-牌的完美覆盖,当且仅当b是m的一个因子或者b是n的一个因子
n阶幻方的幻和为 n*(n^2+1) /2
鸽巢原理:如果n+1个物体被放进n个盒子,那么至少有一个盒子包含两个或者更多的物体
鸽巢原理加强形式: 令q1,q2,..,qn为正整数。如果将q1+q2+...+qn-n+1 个物体放入n个盒子内,那么,至少第一个盒子至少含有q1个物体,或者第二个
盒子至少含有q2个物体,...,或者第n个盒子至少含有qn个物体
给定m个整数a1,a2,...,am,存在整数p和q,0<=p<q<=m,使得a(p+1)+a(p+2)+...+a(m)能够被m整除。通俗的说,就是在序列a1,a2,...,am中存在连续
个a,使得这些a的和能被m整除
由n^2+1个实数构成的序列a1,a2,...,a(n^2+1)或者含有长度为n+1的递增子序列,或者含有长度为n+1的递减子序列
Ramsey定理:在6个(或更多的)人中,或者有3个人,他们中的每两个人都互相认识;或者有3个人,他们中的每两个人都彼此不认识
n个元素的集合的循环r-排列的个数由
A(n,r)/r=n!/(r *(n-r)!)给出。特别地,n个元素的循环排列的个数是(n-1)!
多重集排列:
令S是一个多重集,有k个不同类型的元素,各元素的重数分别为n1,n2,...,nk。设S的大小为n=n1+n2+...+nk。则S的排列数等于n!/(n1!*n2!*...*nk!)
多重集的组合:
令S为具有k中类型元素的一个多重集,每种元素均具有无限的重复数。则S的r-组合的个数等于 C(r+k-1,r)
如果排列P1P2...Pn有逆序列b1,b2,...,bn,且k=b1+b2+...+bn为逆序数,那么P1P2...Pn可以通过k次连续交换得到12...n
利用反射Gray码生成相邻元组1的个数相差1的所有组合
生成{1,2,...,n}的字典序r-组合的算法:
从r-组合a1a2...ar=12..r开始
当a1a2...ar不等于(n-r+1)(n-r+2)...n时,做:
i)确定最大的整数k,是的ak +1<=n且ak + 1不等于a1,a2,...ar
ii)用r-组合
C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)
k * C(n,k) = n * C(n-1,k-1)
C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n) =2^n
1*C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n*2^(n-1) (n>=1)
通过对等式(1+x)^n=sigma(C(n,k)*x^k)
sigma(C(n,k)^2) =C(2n,n)
C(r,0)+C(r+1,1)+...+C(r+k,k) =C(r+k+1,k)
C(0,k)+C(1,k)+...+C(n-1,k)+C(n,k)=C(n+1,k+1)
Dilworth定理:
同理,若r是链的最大大小,那么X可以被划分成r个但不能再少的反链。
卷积定理:对任意两个长度为n的向量a和b,其中n是2的幂,
a,b的卷积等于(DFT2n)-1(DFT2n(a) .DFT2n(b))
其中向量a和b是用0扩充使其长度达到2n,"."表示2个2n个元素组成的向量的点乘
18014398509481931 素数
18014398509482111 最小质因子为11
1637672591771101 最小质因子为6780253
中线定理(pappus定理)是指三角形ABC内BM=MC,则AB^2+AC^2=2*(AM^2+BM^2)
证明:
AC^2=AH^2+HC^2?
AB^2=AH^2+BH^2=AH^2+(HC+2MH)^2=AH^2+HC^2+4MH*HC+4MH^2
左边=AB^2+AC^2=2*AH^2+2CH^2+4MH*CH+4MH^2
右边=2*(AM^2+BM^2)=2*(AH^2+MH^2+(CH+MH)^2)=2*(AH^2+MH^2+CH^2+2CH*MH+MH^2)
得证
[modified from &豪's blog]
(1)定理:设x0,x1,x2,...是无穷实数列,xj>0,j>=1,那么,
(2)对于连分数数数列<X0,...Xn>
(4) 所有有理数都可以表示成有限连分数
(5)pell方程: x^2+ny^2=+-1的解法:
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