解题思路：
根据简化后的双调欧几里得旅行问题的性质，将点集依据各点x坐标单调递增来进行编号，我们设b[i,j]是最短双调闭合旅程P(i,j)的长度(i<=j)，而最短双条闭合旅程P(i,j)是指从点P[i]开始,严格地向左走（即是每次经过的点的x坐标都比前一个点的x坐标要小），直到最左点P[1],然后再严格向右走，直到终点P[j]为止，在从P[i]到P[j]过程中的点有且只经过一次。设distance[i,j]是点P[i]到P[j]之间的欧式距离。
那么，根据动态规划的方法，我们要找出问题的最优子结构，并且递归定义出来，下面是问题的公式（大前提是i<=j）：
b[1,2]=distance(1,2)；最小的子问题，主要用于求解更大的子问题；
b[i,j]=b[i,j-1] + distance(j-1,j),如果i<j-1；
b[i,j]=min{ b[k,j-1] + distance(k,j) }，其中1<=k<j-1,如果i=j-1；
下面讲解公式的由来，最短双调旅程P(i,j)在到达终点P[j]之前，正常来说，按照双调的概念，一定经过了一个其x坐标刚好比点P[j]小的点，也就是P[j-1](当然当i=j-1时就另当别论了),所以如果当i<j-1时，最短双调旅程P(i,j)的长度应该可以看成是其子问题P（i,j-1）的长度和点distance（j-1，j）的和。但是当i=j-1时，问题就不同了，因为我们不能一开始从点P[i]直接跳到P[j]，因为其他点都还没有走过一次,所以在到达终点P[j]的前一个点不能再是点P[j-1]（即P[i]），那如何是好呢？因为在到达终点P[j]之前肯定要经过一个点的，但不知道是哪个点，我们不妨设该点是P[k]，那么k的范围肯定是1<=k<j-1（因为是除了点P[j-1]和P[j]之外的点），当然该点P[k]要使得双调旅程P(i,j)的长度最短,于是在k的可能范围中找，于是再使用一个min操作。i=j-1时的情况类似于矩阵链乘的问题,其实这也是动态规划的惯用手法，假设一个最优选择，然后再基于该最优选择来定义问题。
要知道，我们要求解的问题结果是b[n,n],于是
b[n,n]=b[n-1,n]+distance(n-1,n)；
这里要注意的一点，在之前的公式中，并不涉及求解类似b[i,i]的值,这里定义了b[i,i]的情况。
除此之外，还涉及到了对最优解的重构的问题。我们将使用一个r[i][j]数组表示子问题P(i,j)在到达终点P[j]之前经过的一个点P[k]对应的k值（仅挨着点P[j]的点），则子问题的解可以组织为其更小的子问题P（i，k）的解加上点P[k]和点P[j]。由之前的解题思路可知，对于问题P(i,j),当i=j-1时，k<i,当i<j-1时，k=j-1。
其实得到的最优解是个闭合旅程，所以从出发后的第一个点与到达之前的一个点的位置是等价的。如闭合旅程是76431257，也可以是75213467。
构造解的过程如下：
每次加入的点总是在序号大的点下，因为问题P(i,j)总是分解为子问题P(i,k),不管k是等于j-1，还是小于j-1，然后确定点P[k]是到达P[j]之前的一个点，这也是问题每次选择的结果。使用一个数组存放序号，一边从0开始，一边从末尾开始。
#include <iostream> #include <cmath> #include <fstream> using namespace std; #define N 7 struct Point{ double x; double y; }; struct Point points[N+1]; double b[N+1][N+1]; int r[N+1][N+1]; double distance(int i,int j);//第i，j点的欧式距离 double Euclidean_TSP();//最短闭合旅程长度 void my_print_path();//打印旅程 void main(int argc, char **argv){ ifstream infile; infile.open("input.txt");//读入一个有各点坐标的文档 if (!infile) { cout<<"error!"<<endl; } int i=1; while (infile>>points[i].x>>points[i].y) { i++; } cout<<"最短双调闭合旅程长度是："<<Euclidean_TSP()<<endl; my_print_path(); } double distance(int i,int j){ return sqrt((points[i].x-points[j].x)*(points[i].x-points[j].x) +(points[i].y-points[j].y)*(points[i].y-points[j].y)); } double Euclidean_TSP(){ b[1][2]=distance(1,2);//最小的子问题 for (int j=3;j<=N;j++) { //i<j-1且i>=1时的情况 for (int i=1;i<j-1;i++) { b[i][j] = b[i][j-1]+distance(j-1,j); r[i][j] = j-1; } //i=j-1的情况 b[j-1][j] = b[1][j-1]+distance(1,j);//先设初值为k=1时的值 r[j-1][j] = 1; for (int k=1;k<j-1;k++) { double q = b[k][j-1]+distance(k,j); if (q < b[j-1][j]) { b[j-1][j] = q; r[j-1][j] = k; } } } b[N][N] = b[N-1][N]+distance(N-1,N); return b[N][N]; } void my_print_path(){ int string[N]; string[0]=N; string[1]=N-1; int k=N-1; int left_hand=N-1,right_hand=N,begin=2,end=N-1; for (int i=N-1,j=N;k!=1;) { k=r[i][j]; if (left_hand>right_hand) //比较那边的点的序号大 { left_hand=k; string[begin]=k; begin++; }else{ right_hand=k; string[end]=k; end--; } if (i==j-1) { j=i; i=k; }else if (i<j-1) { j=k; } } cout<<"该旅程是："; for (int index=0;index<N;index++) { cout<<string[index]; } cout<<endl; }
