最长递增子序列（LIS）的O(NlogN)打印算法

题目：

求一个一维数组arr[n]中的最长递增子序列的长度，如在序列1,5,8,3,6,7中，最长递增子序列长度为4 (即1,3,6,7)。

由于LIS用O(NlogN)也能打印，O(N^2)的DP方法见最后。

从LIS的性质出发，要想得到一个更长的上升序列，该序列前面的数必须尽量的小。

对于原序列1,5,8,3,6,7来说，当子序列为1,5,8时，遇到3时，序列已经不能继续变长了。但是，我们可以通过替换，使“整个序列”看上去更小，从而有更大的机会去变长。这样，当替换5-3和替换8-6完成后（此时序列为1,3,6），我们可以在序列末尾添加一个7了。

那为什么复杂度可以是O(NlogN)呢？

关键就在“替换”这一步上，若直接遍历序列替换，每次替换都要O(N)的时间。但是只要我们再次利用LIS的性质——序列是有序的（单调的），就可以用二分查找，在O(logN)的时间内完成一次替换，所以算法的复杂度是O(NlogN)的。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int inf = 0x3f3f3f3f;const int mx = int(1e5) + 5;int a[mx], dp[mx], pos[mx], fa[mx];vector<int> ans;int get_lis(int n){memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));pos[0] = -1;int i, lpos;for (i = 0; i < n; ++i){dp[lpos = (lower_bound(dp, dp + n, a[i]) - dp)] = a[i];pos[lpos] = i; /// *靠后打印fa[i] = (lpos ? pos[lpos - 1] : -1);}n = lower_bound(dp, dp + n, inf) - dp;for (i = pos[n - 1]; ~fa[i]; i = fa[i]) ans.push_back(a[i]);ans.push_back(a[i]); /// 最后逆序打印ans即可return n;}

例题：

POJ 3903 Stock Exchange

UVA 481 What Goes Up

推广：带权值的最长上升子序列：

UVa 11790 Murcia's Skyline

HDU 1087 Super Jumping! Jumping! Jumping!

另：最长不降子序列：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int mx = 10005;int lis[mx];bool cmp(int a, int b){return a <= b;}int main(){int N, len, i, j, x;while (~scanf("%d", &N)){len = 0;for (i = 1; i <= N; ++i){scanf("%d", &x);j = lower_bound(lis + 1, lis + len + 1, x, cmp) - lis;lis[j] = x;len = max(len, j);}printf("%d\n", len);}return 0;}

最长递减子序列：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int mx = 10005;int lis[mx];int main(){int N, len, i, j, x;while (~scanf("%d", &N)){len = 0;for (i = 1; i <= N; ++i){scanf("%d", &x);j = lower_bound(lis + 1, lis + len + 1, x, greater<int>()) - lis;lis[j] = x;len = max(len, j);}printf("%d\n", len);}return 0;}

附：O(N^2)算法

像LCS一样，从后向前分析，很容易想到，第i个元素之前的最长递增子序列的长度要么是1（单独成一个序列），要么就是第i-1个元素之前的最长递增子序列加1，这样得到状态方程：

        LIS[i] = max{1,LIS[k]+1}  (∀k<i，arr[i] > arr[k])

这样arr[i]才能在arr[k]的基础上构成一个新的递增子序列。

代码如下：在计算好LIS长度之后，递归输出其中的一个最长递增子序列。

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int dp[31]; /* dp[i]记录到[0,i]数组的LIS */int lis = 1;    /* LIS长度，初始化为1 */int LIS(int *arr, int arrsize){for (int i = 0; i < arrsize; ++i){dp[i] = 1;for (int j = 0; j < i; ++j) /// 注意i只遍历比它小的元素if (arr[j] < arr[i])dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);lis = max(lis, dp[i]);}return lis;}/* 递归输出LIS，因为数组dp还充当了“标记”作用 */void outputLIS(int *arr, int index){bool isLIS = false;if (index < 0 || lis == 0)return;if (dp[index] == lis){--lis;isLIS = true;}outputLIS(arr, --index);if (isLIS)printf("%d ", arr[index + 1]);}int main(void){int arr[] = {1, 5, 8, 3, 6, 7};printf("%d\n", LIS(arr, sizeof(arr) / sizeof(*arr)));outputLIS(arr, sizeof(arr) / sizeof(*arr) - 1);return 0;}