阿里巴巴2011几道笔试题

阿里巴巴2011几道笔试题

1、一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次？

解：

解：

方法一：

设P（N=n）表示第n次（n>2）抛出后1，2，3都出现的概率，问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.

写程序求解

#include <iostream>

[cpp] view plaincopy

1. using namespace std;  
2. float f(float x)  
3. {  
4.    return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);  
5. }  
6.   
7. int main()  
8. {  
9.    float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;  
10.    e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));  
11.    cout<<e<<endl;  
12.    return 0;  
13. }  

在Visual Studio下的运行结果为：7.3

解法二： 比较通用。

方法： 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。

这是一个求数学期望的问题，最终是求1，2，3出现至少一次的最短长度的期望。

这样分叉树的每个节点是一个期望状态，而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现1、2、3各至少一次的情形记作L123（即题目所求），将后续期望出现1、2各至少一次（3无关）情形记作L12，而1至少一次（2，3无关）情形L1，其余数值符号类推，则树结构如下（列出4级结构已经足够）：

第一级（树根）第二级第三级第四级别L123掷1->L23掷1->L23同状态  掷2->L3根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标  掷3->L2根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标 掷2->L13掷1->L3根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标  掷2->L13同状态  掷3->L1根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标 掷3->L12掷1->L2根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标  掷2->L1根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标  掷3->L12同状态

接下来，就是要排出方程，因为一共7个未知数，如果排出7个线性方程就能解决问题。

这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。

根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：

L123 = p1 (L23+ 1) + p2 (L13+1) + p3 (L12 + 1) = p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 + 1

（以这个L123为例，解释，投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次，于是长度期望是L23+ 1，加1是因为投掷了一次，亦即即增进一级）

L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 + 1

L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 + 1

L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 + 1

L1 =p1 + p2 L1+ p3 L1 + 1

（这里实际上是 L1 =p1 ·1 + p2 (L1+1) + p3 (L1 +1) =p2 L1+ p3 L1 + 1，因为对L1情形，如果投了1就目的达到终止了）

L2 =p2 + p1 L2 +  p3 L2 + 1

L3 =p3 + p1 L3 +p2 L3+ 1

（以上一开始没注意，多加了悬空的概率项，故计算有误）

其中 p1，p2 和 p3分别是掷出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。

于是求解这个方程，得到：

L1 = 6， L2 = 3， L3 = 2

L12 = 7， L13 = 13/2， L23 = 19/56

L123 = 219/30 = 7.3 

故以上如果没有计算错误，该题结果是，平均掷7.3次可出现这些面值各至少一次。

2、一个有趣的抛硬币问题
假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为Shuo Chen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系：
　　T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T) 
解方程可得到 T = 6。
或者根据公式，需要连续抛出n个字的一般情形，结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。

3. 问题描述：

12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种?
这个笔试题，很YD，因为把某个递归关系隐藏得很深。

问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，就对应一种方案。
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0，1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决.
如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数，这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举，多边形分成三角形的个数，圆括弧插入公式中的方法数，其通项是c(2n, n)/(n+1)。

参考来源：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6902917