IIR数字滤波器C语言

1.模拟滤波器的设计

      1.1巴特沃斯滤波器的次数

        根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。

       在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减

将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有

最后，可以解得次数N为

当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。

      1.2巴特沃斯滤波器的传递函数

         巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。其分母多项式

根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N为偶数的时候，

这里，使用了欧拉公式。同样的，当N为奇数的时候，

同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为

上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。

       1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）

          首先，是次数的计算。次数的计算，我们可以由下式求得。

         

其对应的C语言程序为

[cpp] view plaincopy

1. N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /   
2.             log10 (Stopband/Cotoff) ));  

         然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，

这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为

[cpp] view plaincopy

1. typedef struct   
2. {  
3.     double Real_part;  
4.     double Imag_Part;  
5. } COMPLEX;  
6.   
7.   
8. COMPLEX poles[N];  
9.   
10. for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)  
11. {  
12.     if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)  
13.     {  
14.         poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));  
15.     　　poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));        
16.         count++;  
17.         if (count == N) break;  
18.     }  
19. }   

       计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下式一样

这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，

[cpp] view plaincopy

1. int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,  
2.                  double *Res_Real,double *Res_Imag)  
3.       
4. {  
5.        *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);  
6.        *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);      
7.      return (int)1;   
8. }  

有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。我们做如下假设

这个时候，其传递函数为

将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。

计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。其代码为

[cpp] view plaincopy

1.  Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;   
2.  Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;  
3.  Res[1].Real_part = 1;   
4.  Res[1].Imag_Part= 0;  
5.   
6. for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)  
7. {  
8.   for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)  
9.   {  
10.       if(0 == count)  
11.  　{  
12.               Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
13.                    &(Res_Save[count].Real_part),  
14.                    &(Res_Save[count].Imag_Part));  
15.       }  
16.       else if((count_1 + 2) == count)  
17.       {  
18.             Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
19.    　Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;  
20.       }         
21.   　else   
22.   　{  
23.               Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
24.                    &(Res_Save[count].Real_part),  
25.                    &(Res_Save[count].Imag_Part));                 
26. 1   　　Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
27.   　　 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;  
28.  　}  
29.   }  
30.  　　*(b+N) = *(a+N);  

到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。

2.双1次z变换

      2.1双1次z变换的原理

        我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。这里着重说说双1次z变换。我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。

        和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。

将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，

其中，x(t)表示输入，y(t)表示输出。然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果

然后使用z变换，再将其化简。可得到如下结果

从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即

由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是成立的。

然后，将关系式

带入上式，可得

到这里，我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。

         这里的Ω与ω的对应关系很重要。我们最终的目的设计的是数字滤波器，所以，设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。那么，我们首先需要做的，就是将数字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。另外，这里的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取1s就可以。

       2.2双1次z变换的实现（C语言）

         我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。

     

我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子

可以看出，我们还是需要将式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。其代码为。

[cpp] view plaincopy

1. for(Count = 0;Count<=N;Count++)  
2.     {         
3.           　for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)  
4.             {  
5.                  Res[Count_Z] = 0;  
6.              Res_Save[Count_Z] = 0;    
7.             }  
8.                 Res_Save [0] = 1;  
9.          　 for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)  
10.             {  
11.             　　for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
12.                 {  
13.                     if(Count_2 == 0)  Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];      
14. 　　　　　　　　　        　else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
15.                        　    Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];   
16. 　　　　　　　　　　        else  Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];  
17. 　　           　for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
18.               　　　{  
19.                     　 Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
20.                    　　Res[Count_Z]  = 0;  
21.               　　　}            
22.             }  
23.         for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)  
24.             {  
25.                         for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
26.                 {  
27.                      if(Count_2 == 0) 　Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];     
28.                  else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
29.                       　　　　　　　 Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];  
30.                  else    
31.                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];     
32.             　}  
33.                   for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
34.                   {  
35.                        Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
36.                    Res[Count_Z]  = 0;  
37.                   }  
38.             }  
39.             for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
40.         {  
41.                     *(az+Count_Z) += 　pow(2,N-Count) * (*(as+Count)) *  
42. 　　　　　　　　　　　      　　　　 　Res_Save[Count_Z];  
43.                 *(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];               
44.          }    
45.     }  

到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。

3.IIR滤波器的间接设计代码（C语言）

[cpp] view plaincopy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <math.h>  
3. #include <malloc.h>  
4. #include <string.h>  
5.   
6.   
7. #define     pi     ((double)3.1415926)  
8.   
9.   
10. struct DESIGN_SPECIFICATION  
11. {  
12.     double Cotoff;     
13.     double Stopband;  
14.     double Stopband_attenuation;  
15. };  
16.   
17. typedef struct   
18. {  
19.     double Real_part;  
20.     double Imag_Part;  
21. } COMPLEX;  
22.   
23.   
24.   
25. int Ceil(double input)  
26. {  
27.      if(input != (int)input) return ((int)input) +1;  
28.      else return ((int)input);   
29. }  
30.   
31.   
32. int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b  
33.                                      ,double *Res_Real,double *Res_Imag)  
34.       
35. {  
36.        *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);  
37.        *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);      
38.      return (int)1;   
39. }  
40.   
41.   
42. int Buttord(double Cotoff,  
43.                  double Stopband,  
44.                  double Stopband_attenuation)  
45. {  
46.    int N;  
47.   
48.    printf("Wc =  %lf  [rad/sec] \n" ,Cotoff);  
49.    printf("Ws =  %lf  [rad/sec] \n" ,Stopband);  
50.    printf("As  =  %lf  [dB] \n" ,Stopband_attenuation);  
51.    printf("--------------------------------------------------------\n" );  
52.        
53.    N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /   
54.                     log10 (Stopband/Cotoff) ));  
55.      
56.      
57.    return (int)N;  
58. }  
59.   
60.   
61. int Butter(int N, double Cotoff,  
62.                double *a,  
63.                double *b)  
64. {  
65.     double dk = 0;  
66.     int k = 0;  
67.     int count = 0,count_1 = 0;  
68.     COMPLEX poles[N];  
69.     COMPLEX Res[N+1],Res_Save[N+1];  
70.   
71.     if((N%2) == 0) dk = 0.5;  
72.     else dk = 0;  
73.   
74.     for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)  
75.     {  
76.          if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)  
77.          {  
78.                poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));  
79.           poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));        
80.               count++;  
81.             if (count == N) break;  
82.          }  
83.     }   
84.   
85.      printf("Pk =   \n" );     
86.      for(count = 0;count < N ;count++)  
87.      {  
88.            printf("(%lf) + (%lf i) \n" ,-poles[count].Real_part  
89.                                       ,-poles[count].Imag_Part);  
90.      }  
91.      printf("--------------------------------------------------------\n" );  
92.        
93.      Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;   
94.      Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;  
95.   
96.      Res[1].Real_part = 1;   
97.      Res[1].Imag_Part= 0;  
98.   
99.     for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)  
100.     {  
101.          for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)  
102.          {  
103.               if(0 == count)  
104.            {  
105.                     Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
106.                                    &(Res_Save[count].Real_part),  
107.                                    &(Res_Save[count].Imag_Part));  
108.                //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[0].Real_part,Res_Save[0].Imag_Part);  
109.               }  
110.   
111.               else if((count_1 + 2) == count)  
112.               {  
113.                      Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
114.                 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;    
115.               }         
116.             else   
117.             {  
118.                      Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
119.                                    &(Res_Save[count].Real_part),  
120.                                    &(Res_Save[count].Imag_Part));  
121.   
122.                        //printf( "Res          : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res[count - 1].Real_part,Res[count - 1].Imag_Part);  
123.                 //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].Imag_Part);  
124.                   
125.                 Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
126.                 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;  
127.               
128.                 //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].Imag_Part);  
129.                   
130.             }  
131.             //printf("There \n" );  
132.          }  
133.   
134.          for(count = 0;count <= N;count++)  
135.          {  
136.                Res[count].Real_part = Res_Save[count].Real_part;   
137.                  Res[count].Imag_Part= Res_Save[count].Imag_Part;  
138.                    
139.             *(a + N - count) = Res[count].Real_part;  
140.          }  
141.            
142.          //printf("There!! \n" );  
143.            
144.         }  
145.   
146.      *(b+N) = *(a+N);  
147.   
148.      //------------------------display---------------------------------//  
149.      printf("bs =  [" );     
150.      for(count = 0;count <= N ;count++)  
151.      {  
152.            printf("%lf ", *(b+count));  
153.      }  
154.      printf(" ] \n" );  
155.   
156.      printf("as =  [" );     
157.      for(count = 0;count <= N ;count++)  
158.      {  
159.            printf("%lf ", *(a+count));  
160.      }  
161.      printf(" ] \n" );  
162.   
163.      printf("--------------------------------------------------------\n" );  
164.   
165.      return (int) 1;  
166. }  
167.   
168.   
169. int Bilinear(int N,   
170.                  double *as,double *bs,  
171.                  double *az,double *bz)  
172. {  
173.       int Count = 0,Count_1 = 0,Count_2 = 0,Count_Z = 0;  
174.       double Res[N+1];  
175.     double Res_Save[N+1];   
176.   
177.         for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)  
178.     {  
179.                  *(az+Count_Z)  = 0;  
180.             *(bz+Count_Z)  = 0;  
181.     }  
182.   
183.       
184.     for(Count = 0;Count<=N;Count++)  
185.     {         
186.           for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)  
187.             {  
188.                  Res[Count_Z] = 0;  
189.              Res_Save[Count_Z] = 0;    
190.             }  
191.              Res_Save [0] = 1;  
192.       
193.           for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)  
194.             {  
195.             for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
196.                 {  
197.                      if(Count_2 == 0)    
198.                  {  
199.                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];  
200.                      //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
201.                  }    
202.   
203.                  else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
204.                  {  
205.                        Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];     
206.                               //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
207.                  }   
208.   
209.                  else    
210.                  {  
211.                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];  
212.                     //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
213.                  }                 
214.             }  
215.   
216.                     //printf( "Res : ");  
217.               for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
218.               {  
219.                      Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
220.                    Res[Count_Z]  = 0;  
221.                 //printf( "[%d]  %lf  " ,Count_Z, Res_Save[Count_Z]);       
222.               }  
223.               //printf(" \n" );  
224.               
225.             }  
226.   
227.         for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)  
228.             {  
229.                     for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
230.                 {  
231.                      if(Count_2 == 0)    
232.                  {  
233.                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];  
234.                      //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
235.                  }    
236.   
237.                  else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
238.                  {  
239.                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];  
240.                               //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
241.                   }   
242.   
243.                  else    
244.                  {  
245.                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];  
246.                      //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
247.                  }                 
248.             }  
249.   
250.                    //   printf( "Res : ");  
251.               for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
252.               {  
253.                      Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
254.                    Res[Count_Z]  = 0;  
255.                 //printf( "[%d]  %lf  " ,Count_Z, Res_Save[Count_Z]);       
256.               }  
257.                //printf(" \n" );  
258.             }  
259.   
260.   
261.              //printf( "Res : ");  
262.         for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
263.         {  
264.                     *(az+Count_Z) +=  pow(2,N-Count)  *  (*(as+Count)) * Res_Save[Count_Z];  
265.              *(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];         
266.                      //printf( "  %lf  " ,*(bz+Count_Z));           
267.          }    
268.          //printf(" \n" );  
269.   
270.     }  
271.   
272.   
273.         
274.      for(Count_Z = N;Count_Z >= 0;Count_Z--)  
275.      {  
276.           *(bz+Count_Z) =  (*(bz+Count_Z))/(*(az+0));  
277.           *(az+Count_Z) =  (*(az+Count_Z))/(*(az+0));  
278.      }  
279.        
280.   
281.     //------------------------display---------------------------------//  
282.       printf("bz =  [" );     
283.       for(Count_Z= 0;Count_Z <= N ;Count_Z++)  
284.       {  
285.            printf("%lf ", *(bz+Count_Z));  
286.       }  
287.       printf(" ] \n" );  
288.       printf("az =  [" );     
289.       for(Count_Z= 0;Count_Z <= N ;Count_Z++)  
290.       {  
291.            printf("%lf ", *(az+Count_Z));  
292.       }  
293.       printf(" ] \n" );  
294.       printf("--------------------------------------------------------\n" );  
295.   
296.       
297.   
298.      return (int) 1;  
299. }  
300.   
301.   
302.   
303.   
304.   
305. int main(void)  
306. {  
307.      int count;  
308.   
309.      struct DESIGN_SPECIFICATION IIR_Filter;  
310.   
311.      IIR_Filter.Cotoff      = (double)(pi/2);         //[red]  
312.      IIR_Filter.Stopband = (double)((pi*3)/4);   //[red]  
313.      IIR_Filter.Stopband_attenuation = 30;        //[dB]  
314.     
315.      int N;  
316.   
317.      IIR_Filter.Cotoff = 2 * tan((IIR_Filter.Cotoff)/2);            //[red/sec]  
318.      IIR_Filter.Stopband = 2 * tan((IIR_Filter.Stopband)/2);   //[red/sec]  
319.   
320.      N = Buttord(IIR_Filter.Cotoff,  
321.                   IIR_Filter.Stopband,  
322.                   IIR_Filter.Stopband_attenuation);  
323.      printf("N:  %d  \n" ,N);  
324.      printf("--------------------------------------------------------\n" );  
325.   
326.      double as[N+1] , bs[N+1];  
327.      Butter(N,   
328.                 IIR_Filter.Cotoff,  
329.              as,  
330.              bs);   
331.   
332.      double az[N+1] , bz[N+1];  
333.        
334.      Bilinear(N,   
335.                as,bs,  
336.                az,bz);  
337.   
338.      printf("Finish \n" );  
339.      return (int)0;  
340. }  

3.间接设计实现的IIR滤波器的性能

       3.1设计指标

             

        3.2程序执行结果

           使用上述程序，gcc编译通过，执行结果如下。

       其频率响应如下所示。

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