如何设等概率的随机函数

 

如何设等概率的随机函数

分类： 数据结构和算法 程序设计2013-09-19 16:22 116人阅读 评论(0) 收藏 举报

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本文主要介绍以下主题：

如何设计随机函数，即洗牌算法？

如何设计测试用例检查随机函数的正确性？

随机函数有哪些应用？

如何设计随机函数

Knuth Shuffle的洗牌算法，算法复杂度O(n)，洗牌的目的是产生一串等概率的随机列。
1)如何保证等概率：从r个剩余的元素中选择s个元素，那么下一个元素选中的概率为s/r。
2)假设函数bigrand()返回一个大的随机整数（比m和n个大很多），那么bigrand()%n返回[0,n-1]范围的随机整数
4）应用：其他应用如从n个城市中选择出m个城市的名字，可以先对城市名进行签名标记为0,1,...,n-1
记住：我们面对的随机函数的输入是0,1,...,n-1，具体应用可以运用签名转换成成对应的0,1,...,n-1
5）如果要按序输出，可以先对操作对象排序，然后签名[0,n-1]，这样通过按序访问数，就能保证输出结果是有序的

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1. //重新排列[0,n-1]范围内的数  
2. public int[] knuthShuffle(int[] arr) {    
3.     if(arr==null)  
4.       return arr;  
5.         
6.     int randValue;    
7.     for (int remaining=arr.length; remaining>=0; remaining--) {    
8.         randValue = bigrand()%remaining; //产生[0,remaining-1]范围内的随机数  
9.         swap(array[remaining], array[randValue]);    
10.     } //end for   
11.       
12.     return arr;  
13. } //end knuthShuffle  

从n个数中随机选择m个数,其中[0,1,...,n-1]代表数的签名

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1. public void genknuth(int m,int n){  
2.    //输入控制  
3.    if(m<=0 || n<=0 || m>n)  
4.      return ;  
5.   
6.    int select=m;     //选择m个元素  
7.    int remaining=n;  //剩余n个元素  
8.    int randValue;  
9.    for(int i=0;i<n;i++){  
10.       randValue=bigrand()%(remaining-i);   
11.       if( randValue<select ){  
12.           System.out.println(i);  
13.           select--;  
14.       }//end if  
15.    }//end for  
16. }//end genknuth()  

如何设计测试用例检查随机函数的正确性

PC机上是做不出真随机数的，只能做出伪随机数。真随机数需要硬件支持。洗牌洗得好不好，主要是看是不是够随机。概率问题，我们只有一个方法来做测试，那就是用统计的方式。
【测试方法】
      测试洗牌程序也一样，需要通过概率的方式来做统计，是不是每张牌出现在每个位置的次数都是差不多的。
假设对[0,n-1]的n个数产生随机数，调用一次随机函数各个数字产生的概率是1/n，那么如果调用随机概率函数randNumber次，数i在每个位置上出现的次数应该为correctNumber=1/n*randNumber。假设实际数i在某个位置出现的次数是realNumber,则该位置处的误差error=1-realNumber/correctNumber。
      举个例子，如测试样本1000次，列是每个位置出现的次数，行是各个数字的统计，出现概率应该是1/10，也就是理论上出现100次。调用随机函数100次，进行测试效果如下（测试结果来自该博客http://coolshell.cn/articles/8593.html）

       0     1      2       3    4     5      6     7    8    9    
--------------------------------------------------------------
0 |   74  108  123  102   93  198   40   37   52  173
1 |  261 170  114   70    49   28    37   76  116   79
2 |  112 164  168  117   71   37    62   96  116   57
3 |   93   91  119   221  103  66    91   98   78   40
4 |   62   60   82    90    290 112   95   98   71   40
5 |   46   60   63    76    81   318   56   42   70  188
6 |   72   57   68    77    83   39  400  105   55   44
7 |   99   79   70    73    87   34  124  317   78   39
8 |  127  112 102   90    81   24   57   83  248   76
9 |   54   99   91     84    62  144  38   48  116  264

然后统计误差即可。

【测试样本】
设置一个样本大小，做一下统计，然后计算一下误差值是否在可以容忍的范围内。比如：
样本：100万次
最大误差：10%以内
平均误差：5%以内 （或者：90%以上的误差要小于5%）

随机函数有哪些应用

1、创新工场笔试题

第一个是让把一个数组打乱顺序，每个概率相等
2、给定一个函数rand()能产生0到n-1之间的等概率随机数，问如何产生0到m-1之间等概率的随机数？
思路：就是从n个数中随机生成m个数，上面已有代码，此处不做重复说明。
3、如何测试一个随机函数？
4、给定一个函数rand5()，该函数可以随机生成1-5的整数，且生成概率一样。现要求使用该函数构造函数rand7()，使函数rand7()可以随机等概率的生成1-7的整数。
【思路】
我们可以利用rand5() + rand()%3来实现rand7()函数，这个方法确实可以产生1-7之间的随机数，但是是否生成的数字是等概率是？
rand()%3 产生0的概率是1/5，而产生1和2的概率都是2/5，所以这个方法产生6和7的概率大于产生5的概率。如何解决呢？
      rand()产生[0,n-1]，把rand()视为n进制的一位数产生器，那么可以使用rand()*n+rand()来产生2位的n进制数，以此类推，可以产生3位，4位，5位...的n进制数。这种按构造n进制数的方式生成的随机数，必定能保证随机，而相反，借助其他方式来使用rand()产生随机数(如 rand5() + rand()%3 )都是不能保证概率平均的。
此题中n为5，因此可以使用rand5()*5+rand5()来产生2位的5进制数，范围就是1到25。再去掉22-25，剩余的除3，以此作为rand7()的产生器。

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1. public int rand7() {    
2.     int x = 0;   
3.     while(x>21)   
4.     {    
5.         x = 5 * (rand5()-1) + rand5();  //rand5()生成[1,5]的整数，则rand5()-1生成[0,n-1]的整数  
6.     }//end while   
7.     return x%7+1;  //x%7生成[0,7-1]的整数，则x%7+1生成[1,7]的整数  
8. } //end rand7()