编程珠玑之生成0至n-1之间的k个不同随机序列的扩展问题 --2014人人网笔试题目

  《编程珠玑》中习题1.4的题目是：“如果认真考虑了习题3，你将会面对生成小于n且没有重复的k个整数的问题。最简单的方法就是使用前k个正整数。这个极端的数据集合将不会明显的改变位图方法的运行时间，但是可能会歪曲系统排序的运行时间。如何生成位于0至n - 1之间的k个不同的随机顺序的随机整数？尽量使你的程序简短高效。”

 解决这个问题可以使用以空间换时间的方式，基本的思想是 利用洗牌的原理，将n个数(0至n-1)按次序排好，依次让每个数和一个随机挑选出的位子进行互换，这样肯定不会重复，而且次序被打乱，具有随性。 只用交换k次，就可以取出k个小于n的互不相同的随机数。

由这个问题我们引出以下这个笔试题目的问题：

“使用一个长度为n的数组来产生随机数，当产生的随机数与数组的存在的相同则重新随机，当不同时插入到数组中，使用这种方法产生1到n的随机数的期望次数是多少次？（编程实现）”

解答：

一般的思想是产生一个随机数 arr[i] 后，和前面已经产生的arr[0]~arr[i-1]进行比较，如果有重复的就重新产生一个，该算法的平均时间复杂度为：O（n^2) ，而最坏复杂度为无限！！

这里我们按照编程珠玑上那个问题的扩展想法，利用空间换时间的算法，生成随机排列的数，此时时间复杂度为O（n）。

（1）建立一个长度为n+1的临时数组b，对该数组赋值依次赋值0~n, 即b[i] = i;

（2）取一个1~n之间的随机整数k=rand(0,n]，取b[k]读入arr[i]，再将b数组最后一个元素b[b.size-1]赋值给b[k]，将b的长度减1；

代码实现：

/**BLOG:http://blog.csdn.net/wdzxl198*AUTHOR:Atlas*EMAIL:[e-mail]*/#include<iostream>using namespace std;void Random(int *arr,int length){srand(time(NULL));int i,randnum;int limitsize = length;int b[limitsize];for(i=0; i<limitsize; i++){   b[i] = i+1;}for(i=0; i<length; i++){   randnum = rand()%limitsize;   limitsize--;   arr[i] = b[randnum];   b[randnum] = b[limitsize];}}int main(){int arr[100];//假使随机出1到100的随机数Random(arr,100);for(int i=0;i<100;i++){cout<<arr[i]<<" ";}cout<<endl;quickSort(arr,0,99);for(int i=0;i<100;i++){cout<<arr[i]<<" ";}cout<<endl;system("PAUSE");return 0;} 

这种方法的是O（n）时间复杂度，但是没有求出题目中期望的次数。

在求期望的过程中，我发现一篇博文，题目是有一个数组，每次从中间随机取一个，然后放回去，当所有的元素都被取过，返回总共的取的次数。写一个函数实现。复杂度是什么。，这个题目与文章中的类似，转载过来分析下，

import java.util.Random;  import java.util.Set;  import java.util.TreeSet;  /**  * #面试题#有一个数组，每次从中间随机取一个，然后放回去，当所有的元素都被取过，返回总共的取的次数。  * 写一个函数实现。复杂度是什么。  * bitmap，只要一个bit就可以标记是否被取过，可参考《编程珠玑》的位图排序  *   * 时间复杂度的话，我不太会算，以下是引用https://github.com/vyan/test/blob/master/accessTimes.cpp：  * 使用bit打点记录已经取的数，   * 复杂度分析，假设数组总长度为n   * 取到第1个之前未被取到的数的期望 E(1)=1   * 取到第2个之前未被取到的数的期望 E(2)=n/n-1   * 取到第3个之前未被取到的数的期望 E(3)=n/n-2   * ...  * 取到第n个之前未被取到的数的期望 E(n)=n/1   * 总得期望次数E=n+n/(n-1)+n/(n-2)+...+n/1;  *              =n(1+1/(n-1)+1/(n-2)+...+1/1)   *              =nln(n)   * 所以算法平均复杂度为nlogn   *   * 下面的代码里面，除法和求模运算我都用位运算来实现，事实上直接用java提供的（/,%）也可以  * 同时，为了验证是否真的取到了数组的所有元素，我用了TreeSet保存已选中的下标（去重）  *   * 最后，还有一个问题是，可能取了很多次，都没能全选中，这个时候可以设置一个最长时间或者最大尝试次数，超过则结束程序，  * 避免程序长时间运行甚至死循环  *   * @author lijinnan  *   */  public class TimesOfAccessArray {        public static final int SHIFT = 5;      public static final int BLOCK_SIZE = (1 << SHIFT);  //32      public static final int MASK = (1 << SHIFT) - 1;  //31        public static void main(String[] args) {          int[] array = new int[200];          long times = accessTimes(array);          System.out.println(times);      }            public static long accessTimes(int[] array) {          if (array == null || array.length == 0) {              return -1L;          }          long result = 0L;          int len = array.length;          int[] bitmap = new int[divide(len, BLOCK_SIZE) + 1];          int setTimes = 0;          Set<Integer> set = new TreeSet<Integer>();          while (setTimes < len) {              int pos = new Random().nextInt(len);              set.add(pos);              if (set(bitmap, pos)) {                  setTimes++;              }              result++;          }          System.out.println(set);          return result;      }            public static boolean set(int[] bitmap, int pos) {          boolean result = false;          int blockNo = divide(pos, BLOCK_SIZE);          int index = mod(pos, BLOCK_SIZE);          boolean notExist = (bitmap[blockNo] & (1 << index))== 0;          if (notExist) {              bitmap[blockNo] |= (1 << index);              result = true;          }          return result;      }        public static boolean exist(int[] bitmap, int pos) {          int blockNo = divide(pos, BLOCK_SIZE);          int index = mod(pos, BLOCK_SIZE);          return (bitmap[blockNo] & (1 << index)) != 0;      }            private static int divide(int x, int y) {          return x >> offSet(y);      }        private static int mod(int x, int y) {          int z = x;          int i = offSet(y);          return z - ((z >> i) << i);      }            //e.g. 32=2^5, return 5 只考虑2的幂      private static int offSet(int y) {          return howManyBits(y) - 1;      }        //二进制的表示里面，有多少位。例如32是6位      private static int howManyBits(int y) {          int bitNum = 0;          while (y != 0) {              y = (y >> 1);              bitNum++;          }          return bitNum;      }         }