hdu 3030 Increasing Speed Limits（树状数组求最长上升子序列）

在前边关于DP总结的文章中说了通过普通的DP法个二分查找法求最长上升子问题，最近在学习BIT，然后突然发现原来通过BIT也可以求最长上升子序列问题。本来想着可以通过类似的方法在O(nlogn)时间内求出，然而题目的意思是求出总和，这样的话二分法就不好使了，一开始也没有理解，不过通过单纯的求最长上升子序列，终于搞明白了。

先来看看求解普通的最长上升子序列问题：

题目中首先将重复的元素去掉，以为我们求的是严格意义上的上升序列，因此，相同的元素是没有任何意义的，所以先对所有元素排序，然后去除掉重复元素。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=110000;int n,val[N],a[N];int len,arr[N];int lowbit(int x){    return x&(-x);}//原始的updatevoid update(int i,int x){    while(x<=len){        if(i>arr[x])            arr[x]=i;        x+=lowbit(x);    }}int query(int x){    int ans=0;    while(x){        if(arr[x]>ans)            ans=arr[x];        x-=lowbit(x);    }    return ans;}int main(){    while(~scanf("%d",&n)){        for(int i=0;i<n;i++){            scanf("%d",&val[i]);            a[i]=val[i];        }//排序去冲        sort(a,a+n);        len=unique(a,a+n)-a;        memset(arr,0,sizeof(arr));        int ans=1,tmp;        for(int i=0;i<n;i++){//这里val中保存的是可以插入元素的位置            val[i]=lower_bound(a,a+len,val[i])-a;            tmp=query(val[i])+1;//tmp保存的是当前位置左边比它小的数的个数，注意这里要加1，因为第i结束时需要给序列加1            if(tmp>ans)//取最大值，我们求得是最长上升的序列                ans=tmp;            update(tmp,val[i]+1);更新val[i]+1位置，注意tree中保存的是左边小的值，所以在真正求值时需要+1        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

好了，搞明白了找个基本问题，杭电的这道题也就可以理解了：

#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cstdio>#include <map>#include <algorithm>#define MOD 1000000007#define MAXN 500005using namespace std; int num[MAXN], A[MAXN], c[MAXN], seq[MAXN], cnt;inline int lowbit(int x){return x & -x;}//这里的update是正常的inline void update(int pos, int val){for (int i = pos; i <= cnt; i += lowbit(i)){ c[i] += val;if (c[i] >= MOD)c[i] %= MOD;}}inline int getsum(int pos){int s = 0;for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i)){s += c[i];if (s >= MOD)s %= MOD;}return s;}int main(){int T, n, m;long long X, Y, Z, res; scanf("%d", &T);for (int ca = 1; ca <= T; ++ca){res = 0;map<int,int>mp;scanf("%d %d %I64d %I64d %I64d", &n, &m, &X, &Y, &Z);memset(c, 0, sizeof (c));for (int i = 0; i < m; ++i){scanf("%d", &A[i]);}for (int i = 0; i < n; ++i){num[i+1] = A[i%m];seq[i] = num[i+1];A[i%m] = (X*A[i%m]+Y*(i+1))%Z;}//其中num和seq保存的值是一模一样的sort(num+1, num+1+n);//去除临近元素，cnt表示的是一共有多少个不同的元素//这里进行的是离散化的操作，对于最长上升子序列来说，相同元素是毫无意义的cnt = unique(num+1, num+1+n) - (num+1);for (int i = 1; i <= cnt; ++i){//上边是通过二分找位置，这里使用的map来记录位置mp[num[i]] = i;}update(1, 1);for (int i = 0; i < n; ++i){ //注意这里是累加，而上边的代码中是取最大值long long x = getsum(mp[seq[i]]); res += x;if (res > MOD)res %= MOD;//给下一个位置上update时的值是xupdate(mp[seq[i]]+1, x);}printf("Case #%d: %I64d\n", ca, res);}return 0;}

这样居然跑了9000MS，险过。这个是别人的代码，拿来学习下，然后想想为什么不用二分呢？根据位置来确定岂不是更快，少了map内存也应该更少才对，修改代码如下：

#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cstdio>#include <map>#include <algorithm>#define MOD 1000000007#define MAXN 500005using namespace std; int num[MAXN], A[MAXN], c[MAXN], seq[MAXN], cnt;inline int lowbit(int x){return x & -x;}//这里的update是正常的inline void update(int pos, int val){for (int i = pos; i <= cnt; i += lowbit(i)){ c[i] += val;if (c[i] >= MOD)c[i] %= MOD;}}inline int getsum(int pos){int s = 0;for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i)){s += c[i];if (s >= MOD)s %= MOD;}return s;}int main(){int T, n, m;long long X, Y, Z, res; scanf("%d", &T);for (int ca = 1; ca <= T; ++ca){res = 0;map<int,int>mp;scanf("%d %d %I64d %I64d %I64d", &n, &m, &X, &Y, &Z);memset(c, 0, sizeof (c));for (int i = 0; i < m; ++i){scanf("%d", &A[i]);}for (int i = 0; i < n; ++i){num[i+1] = A[i%m];seq[i] = num[i+1];A[i%m] = (X*A[i%m]+Y*(i+1))%Z;}//其中num和seq保存的值是一模一样的sort(num+1, num+1+n);//去除临近元素，cnt表示的是一共有多少个不同的元素//这里进行的是离散化的操作，对于最长上升子序列来说，相同元素是毫无意义的cnt = unique(num+1, num+1+n) - (num+1);for (int i = 0; i < n; ++i){ //注意这里是累加，而上边的代码中是取最大值A[i]=lower_bound(num+1,num+cnt+1,seq[i])-num-1;long long x = getsum(A[i])+1; res += x;if (res > MOD)res %= MOD;//给下一个位置上update时的值是xupdate(A[i]+1, x);}printf("Case #%d: %I64d\n", ca, res);}return 0;}

这样的话仅仅需要2703MS，但是内存只减少了80B，额，看来stl中的map做得好牛逼。。。

还得注意下，求最长上升子序列和求子序列个数的时候，BIT中的update和getsum各不相同，要说起解释来呢，也不知该怎么解释，可能对BIT的理解还不够深刻，一个是求最大值，一个是求和，所以update和getsum的时候各不相同。希望哪位大神能详细的解释下。