空间几何变换知识点——摘自《机器视觉研究与发展》赵彭
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三维射影空间中齐次坐标表示的变换矩阵:
Tp = p11 p12 p13 p14
p21 p22 p23 p24
p31 p32 p33 p34
p41 p42 p43 p44
Ta = a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
0 0 0 1
因此,仿射变换矩阵中有12个自由度。
4 比例变换
比例变换(ratio of transformation)是带有一个比例因子的欧氏变换(Euclidean transformation,欧几里得变换,简称欧氏变换)。
三维空间中比例变换矩阵用齐次表示为:
Tm = k*r11 k*r12 k*r13 t11
k*r21 k*r22 k*r23 t21
k*r31 k*r32 k*r33 t31
0 0 0 1
r(i,j)组成一个正交矩阵,它是一个旋转矩阵,有3个自由度,k为比例因子,或称为缩放因子。因此比例变换共7个自由度,其中3个旋转,3个平移和1个比例因子。比例变换不改变物体空间的形状,只是改变大小,所以有时将比例变换称为相似变换。
5 欧氏变换
欧氏变换(Euclidean transformation)是在欧氏空间进行的变换,与比例变换很类似,只是比例因子取1。欧氏变换有6个自由度,即三个旋转、三个平移。
三维空间中欧氏变换矩阵用齐次表示为:
Te = r11 r12 r13 t11
r21 r22 r23 t21
r31 r32 r33 t31
0 0 0 1
欧氏变换代表了在欧氏空间中的刚体运动或刚体变换。
综上所述:仿射变换是透视变换的特例,比例变换是仿射变换的特例,而欧氏变换又是比例变换的特例。
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