POJ 1006 Biorhythms

这个是这个剩余定理，开始按同余方程的方法求，结果很快就出来了。

AC代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define N 21252using namespace std;int w[4],q[4]={23,28,33};void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(b==0)    {        d=a;x=1;y=0;        return ;    }    else    {        exgcd(b,a%b,d,y,x);        y-=x*(a/b);    }}int main(){    int c,i,j,sum,lcm=1,n;    int a,b,d,x,y;    while(scanf("%d%d%d%d",&w[0],&w[1],&w[2],&n))    {        sum=0;        if(w[0]==-1 && w[1]==-1 && w[2]==-1 && n==-1)  break;        for(i=0;i<3;i++)        {            a=N/q[i];            b=q[i];            exgcd(a,b,d,x,y);            sum=(sum+a*x*w[i])%N;        }        sum-=n;        while(sum <= 0) sum+=N;        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",lcm++,sum);    }    return 0;}

后来，在百度的时候，对剩余定理有了新的了解。

要引入本题解法，先来看一个故事 “韩信点兵”：
      传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已经知道士兵总人数在2300~2400之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相邻两数的间隔是105（3、5、7的最小公倍数），便立即说出实际人数应是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这就是韩信点兵的故事。 

 

 韩信点兵问题简化：已知 n%3=2,  n%5=3,  n%7=2,  求n。 

  再看我们这道题，读入p,e,i,d 4个整数

已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i ,求n 。 

 

两道题是一样的。但是韩信当时计算出结果的？ 
 韩信用的就是“中国剩余定理”，《孙子算经》中早有计算方法，大家可以查阅相关资料。 
“韩信点兵”问题计算如下： 

因为n%3=2, n%5=3, n%7=2 且 3，5，7互质 （互质可以直接得到这三个数的最小公倍数）

令x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2
       a, 使5×7×a被3除余1，有35×2=70，即a=2； 
       b, 使3×7×b被5除余1，用21×1=21，即b=1； 
       c, 使3×5×c被7除余1，用15×1=15， 即c=1。 
那么n =（70 *  x+21 * y+15 * z）%lcm(3,5,7) = 23 这是n的最小解

 而韩信已知士兵人数在2300~2400之间，所以只需要n+i×lcm(3,5,7)就得到了2333，此时i=22

同样，这道题的解法就是： 

已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i ；
       a, 使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544； 
       b, 使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421； 
       c, 使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。 
      因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d 

又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;
      所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252

本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252
那么最终求解n的表达式就是：

n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;

当问题被转化为一条数学式子时，你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

AC代码：

#include <iostream>#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstring>#define ant1 21252using namespace std;int main(){    int a,b,c,d,ant=1,sum;    while(~scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d))    {        if(a==-1 && b==-1 &&c ==-1 && d==-1) break;        sum=(5544*a+14421*b+1288*c-d+2*ant1)%ant1;        if(sum==0) sum=ant1;        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",ant++,sum);    }    return 0;}

俩种方法的时间都是32ms，就是代码长度不同吧！！

路途中。。。