Project Euler 题解 #40 Champernowne's constant

题目：Champernowne's constant

An irrational decimal fraction is created by concatenating the positive integers:

0.123456789101112131415161718192021...

It can be seen that the 12^th digit of the fractional part is 1.

If d_n represents the n^th digit of the fractional part, find the value of the following expression.

d₁ d₁₀d₁₀₀d₁₀₀₀d₁₀₀₀₀d₁₀₀₀₀₀d_1000000

这个题意是从特定的序列中获取特定的数字，重点在于从序列中分析出特点。

解题思路

1.从数字的位数角度看，有下面的规律：

当数字位数为n位时，所包含的的数字总数为：910^n-1n。

例如：n=3,10~99，数字总数为9102=180。

 

2.给定D(Z)时，首先需要知道对应的是数字取至一个几位数。便可以知道数字来自哪个数。

通过第1点可以用加法算出来自N位数。

先算出偏移量offset

那么，来自的数字Y = 10^n-1+offset/N。

取数字Y中的第几位数呢？

index = N - offset%N。

 

如何取出数x的第n位数呢？公式如下：

 

具体应用：

求D(100)。

首先可以知道来自一个2位数，N=2。

offset = 100-9-1 = 90

Y = 10+90/2 = 55

index = 2-90%2 = 2

明显Y的第2位为5。

得D(100) = 5。 

代码实现 

//https://projecteuler.net/problem=40//Champernowne's constant#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int GetNthDigit(unsigned int x, unsigned int N){return N <= 0? 0 : (x/(int)pow(10.0, int(N - 1)))%10;}int D(unsigned int x){unsigned int guard = 0;int N = 0;do {++N;guard += 9 * N * (unsigned int)pow(10.0, int(N - 1));} while (x > guard);unsigned int offset = x - 1 - (guard - 9 * N * (unsigned int)pow(10.0, int(N - 1)));unsigned int num = (unsigned int)pow(10.0, int(N - 1)) + offset/N;unsigned int index = N - offset%N;return GetNthDigit(num, index);}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){cout<<D(1)<<endl;cout<<D(10)<<endl;cout<<D(100)<<endl;cout<<D(1000)<<endl;cout<<D(10000)<<endl;cout<<D(100000)<<endl;cout<<D(1000000)<<endl;system("pause");return 0;}

输入：

D(1)  = 1

D(10)  = 1

D(100)  = 5

D(1000)  = 3

D(10000)  = 7

D(100000)  = 2

D(1000000)  = 1
连乘可得210。