数论学习之起步篇（二）

同余与模算术

(a+b)%n = ((a%n)+(b%n))%n(a-b)%n = ((a%n)-(b%n)+n)%nab%n = (long long)(a%n)*(b%n)%n其中要注意a%n*b%n的值可能超int10-1 大整数取模输入正整数n和m，输出n mod m的值。n<=10^100,m<=10^9将大整数写成“自左向右”的形式：1234%n=(((1*10+2)*10+3)*10+4)%n，然后就可以用之前的公式来处理了#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<vector>#include<ctype.h>#include<algorithm>#include<string>#define PI acos(-1.0)using namespace std;int main (){    char n[110];    int m;    scanf("%s%d",n,&m);    int len=strlen(n);    long long ans=0;    for (int i=0; i<len; i++)        ans=(ans*10+n[i]-'0')%m;    printf("%d\n",ans);    return 0;}10-2 幂取模输入正整数a、n和m，输出a^n mod m的值。a,n,m <= 10^9#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<vector>#include<ctype.h>#include<algorithm>#include<string>#define PI acos(-1.0)using namespace std;int pow_mod(int a, long long n, int m){    if (n==0) return 1;    int x=pow_mod(a,n/2,m);    long long ans=(long long)x*x%m;    if (n%2) ans=ans*a%m;    return (int)ans;}int main (){    int a,m;    long long n;    cin>>a>>n>>m;    int ans=pow_mod(a,n,m);    cout<<ans<<endl;    return 0;}10-3 模线性方程输入正整数a,b,n，解方程ax≡b(mod n)。a,b,n<=10^9≡代表同余。即ax-b=ny。不难看出这就是一个扩展欧几里得算法还有就是ax≡1(mod n)的解称为a关于模n的逆元。ax-ny=1, 这代表了gcd(a,n)=1,才有唯一解。否则无解