编辑距离，最长公共子序列，最长公共子串，最长递增子序列

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1.编辑距离

编辑距离，又称Levenshtein距离（也叫做Edit Distance），是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

例如将kitten一字转成sitting：

sitten （k→s）
sittin （e→i）
sitting （→g）

最小编辑距离代码实例

#include<iostream>#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<string>using namespace std;#define maxNum 100char a[maxNum],b[maxNum];//存放输入字符串int c[maxNum][maxNum];//动态规划二维表int diff(char a,char b)//判断字符a，b是否相等， 相等则编辑距离不增加，返回0，否则返回1{    if(a==b)        return 0;    else        return 1;}int min(int a,int b,int c)//求三数中最小的{    int d;    if(a<b)        d=a;    else        d=b;    if(c<d)        return c;    else        return d;}int main(){    printf("please input string a/n");    scanf("%s",a);    printf("please input string b/n");    scanf("%s",b);    printf("%s %s/n",a,b);    int len_a=strlen(a);    int len_b=strlen(b);        int i,j;    for(i=0;i<=len_a;i++)        c[i][0]=i;    for(j=0;j<=len_b;j++)        c[0][j]=j;    for(i=1;i<=len_a;i++)        for(j=1;j<=len_b;j++)            c[i][j]=min(1+c[i-1][j],1+c[i][j-1],diff(a[i-1],b[j-1])+c[i-1][j-1]);    for(i=0;i<=len_a;i++)    {        for(j=0;j<=len_b;j++)            cout<<c[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }    system("pause");    return 0;}/*please input string aEXPONENTIALplease input string bPOLYNOMIALEXPONENTIAL POLYNOMIAL0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 2 3 4 5 6 7 8 9 103 2 3 3 4 5 6 7 8 9 104 3 2 3 4 5 5 6 7 8 95 4 3 3 4 4 5 6 7 8 96 5 4 4 4 5 5 6 7 8 97 6 5 5 5 4 5 6 7 8 98 7 6 6 6 5 5 6 7 8 99 8 7 7 7 6 6 6 6 7 810 9 8 8 8 7 7 7 7 6 711 10 9 8 9 8 8 8 8 7 6请按任意键继续. . .*/

二维数组最后一个元素值就是最小编辑距离，也就是6.

2.最长公共子序列

2.1问题定义

最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的，因为最长公共子序列不要求子序列在原有序列中连续出现。

2.2解题思路

这种题目使用动态规划解决。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。所以此处引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们首先进行自底向上的递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。具体思路如下

if(x[i]==y[j])//如果X[i] 和 Y[j]相等，那么c[i][j]的值可以通过1+c[i-1][j-1]得出。而c[i-1][j-1]已经推算出来。　　c[i][j]=1+c[i-1][j-1]else{//如果X[i] 和 Y[j]不相等，那么x[i]和y[j]的最长公共子序列可能是x[i]与y[j-1]的最长公共子序列，也可能是x[i-1]与y[j]的最长公共子序列，我们求其最大值　　c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j])}

我们上面的自底向上推算是在“c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]已经计算出来后再求c[i,j]”这个前提下进行的。所以我们构建c[][]这个数组是从头开始的。在创建好c[][]以后我们需要初始化这个二维数组，c[0][0...n]=0，c[0...m][0]=0。这是为了便于计算后面的c[1][1]使用。用于表示x[1]和y[1]的最长公共子序列，但是我们发现字符数组char* x[]跟char* y[]是从下标0开始计算的，所以在这里x[i][j]表示的是x[i-1]和y[j-1]的最长公共子序列。

最后问题可以用递归式写成：

2.3最长公共子序列实例

#include<iostream>#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<string>using namespace std;#define maxNum 100char a[maxNum],b[maxNum];//存放输入字符串int c[maxNum][maxNum];//动态规划二维表int max(int a,int b)//求三数中最大的{        if(a>b)        return a;    else        return b;}int main(){    printf("please input string a\n");    scanf("%s",a);    printf("please input string b\n");    scanf("%s",b);    printf("%s %s\n",a,b);    int len_a=strlen(a);    int len_b=strlen(b);        int i,j;    for(i=0;i<=len_a;i++)        c[i][0]=0;    for(j=0;j<=len_b;j++)        c[0][j]=0;    for(i=1;i<=len_a;i++)        for(j=1;j<=len_b;j++)        {            if(a[i-1]==b[j-1])            {                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;            }            else            {                c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j-1]);            }        }                for(i=0;i<=len_a;i++)    {        for(j=0;j<=len_b;j++)            cout<<c[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }    system("pause");    return 0;}/*please input string aABCBDABplease input string bBDCABAABCBDAB BDCABA0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 10 1 1 1 1 2 20 1 1 2 2 2 20 1 1 2 2 3 30 1 2 2 2 3 30 1 2 2 3 3 40 1 2 2 3 4 4*/

根据上述解题思路给出代码实现

//最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）#include<iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MaxLen 100int max(int a,int b){    return a>b?a:b;}void LCSLength(char* s1, char* s2, int len1, int len2, int c[][MaxLen], int b[][MaxLen]){    int i,j;    //初始化c[][]    for(i=0;i<=len1;i++)//从0开始    {        c[i][0]=0;    }    for(j=0;j<=len2;j++)//从0开始或者从1开始都可以    {        c[0][j]=0;    }    for(i=1;i<=len1;i++)//从1开始        for(j=1;j<=len2;j++)//从1开始        {            if(s1[i-1]==s2[j-1])//注意这里是i-1和j-1，因为字符串数组从下标0开始。                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;            else                c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j]);        }    //输出c[][]    for(i=0;i<=len1;i++)    {        for(j=0;j<=len2;j++)        {            cout<<c[i][j]<<" ";        }        cout<<endl;    }}void PrintLCS(){}int main(){    char* s1="ABCBDAB";    char* s2="BDCABA";    int len1=strlen(s1);    int len2=strlen(s2);    //cout<<len1<<endl;    int c[MaxLen][MaxLen];//c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度    int b[MaxLen][MaxLen];//b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向    LCSLength(s1,s2,len1,len2,c,b);    system("pause");    return 0;}

上述代码只给出了最长公共子序列的长度，但是没有输出最长公共子序列，如前所述我们需要通过一个b[][]来记录c[][]是由哪一步得到的。

b[i][j]=0;//表示c[i][j]由c[i-1][j-1]+1得到
b[i][j]=1;//表示c[i][j]由c[i][j-1]得到
b[i][j]=-1;//表示c[i][j]由c[i-1][j]得到

这样在输出最长子序列的时候，我们从c[][]最后一个位置开始递归遍历。代码实现如下：

//最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）#include<iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MaxLen 100int max(int a,int b){    return a>b?a:b;}void LCSLength(char* s1, char* s2, int len1, int len2, int c[][MaxLen], int b[][MaxLen]){    int i,j;    //初始化c[][]    for(i=0;i<=len1;i++)//从0开始    {        c[i][0]=0;    }    for(j=0;j<=len2;j++)//从0开始或者从1开始都可以    {        c[0][j]=0;    }    for(i=1;i<=len1;i++)//从1开始        for(j=1;j<=len2;j++)//从1开始        {            if(s1[i-1]==s2[j-1])//注意这里是i-1和j-1，因为字符串数组从下标0开始。            {                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;                b[i][j]=0;//表示c[i][j]由c[i-1][j-1]+1得到            }                            else if(c[i][j-1]>=c[i-1][j])            {                c[i][j]=c[i][j-1];                b[i][j]=1;//表示c[i][j]由c[i][j-1]得到            }            else            {                c[i][j]=c[i-1][j];                b[i][j]=-1;//表示c[i][j]由c[i-1][j]得到            }        }    ////输出c[][]    //for(i=0;i<=len1;i++)    //{    //    for(j=0;j<=len2;j++)    //    {    //        cout<<c[i][j]<<" ";    //    }    //    cout<<endl;    //}}void PrintLCS(char* s1,int i,int j,int b[][MaxLen]){    //递归退出条件    if(i<=0||j<=0)        return;    if(b[i][j]==0)    {        PrintLCS(s1,i-1,j-1,b);        cout<<s1[i-1];    }    else if(b[i][j]==1)//表示c[i][j]由c[i][j-1]得到    {        PrintLCS(s1,i,j-1,b);    }    else    {        PrintLCS(s1,i-1,j,b);    }}int main(){    char* s1="ABCBDAB";    char* s2="BDCABA";    int len1=strlen(s1);    int len2=strlen(s2);    //cout<<len1<<endl;    int c[MaxLen][MaxLen];//c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度    int b[MaxLen][MaxLen];//b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向    LCSLength(s1,s2,len1,len2,c,b);    PrintLCS(s1,len1,len2,b);    system("pause");    return 0;}

3.最长公共子串

3.1解体思路

找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢？首先初始化这个二维数组c[][]，

如果x[0..i]=y[0]，则c[i][0]=1，否则c[i][0]=0
如果y[0..j]=x[0]，则c[0][j]=1，否则c[0][j]=0

然后计算c[i][j]的值，如果x[i]==y[j]，则c[i][j]=c[i-1][j-1]+1。

直接举个例子吧："ABCBDAB"和"BDCABA"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"AB"或"BD")

   B D C A B AA  0 0 0 1 0 1B  1 0 0 0 2 0C  0 0 1 0 0 0B  1 0 0 0 1 0D  0 2 0 0 0 0A  0 0 0 1 0 1B  1 0 0 0 2 0

3.2代码实现

//最长公共子串，英文缩写为LCS（Longest Common Substring）#include<iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MaxLen 100void LCSubstring(char* s1, char* s2, int len1, int len2, int c[][MaxLen]){    int i,j;    //初始化c[][]    for(i=0;i<len1;i++)    {        if(s1[i]==s2[0])            c[i][0]=1;        else            c[i][0]=0;    }            for(j=0;j<len2;j++)    {        if(s2[j]==s1[0])            c[0][j]=1;        else            c[0][j]=0;    }    int max=0;    int m,n;    for(i=1;i<len1;i++)//从1开始        for(j=1;j<len2;j++)//从1开始        {            if(s1[i]==s2[j])            {                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;                if(c[i][j]>max)//记录最长公共字串的位置                {                    max=c[i][j];                    m=i;                    n=j;                }            }            else            {                c[i][j]=0;            }        }    for(i=m-max+1;i<=m;i++)//输出公共字串    {        cout<<s1[i];    }    cout<<endl;    //输出c[][]    for(i=0;i<len1;i++)    {        for(j=0;j<len2;j++)        {            cout<<c[i][j]<<" ";        }        cout<<endl;    }}int main(){    char* s1="ABCBDAB";    char* s2="BDCABA";    int len1=strlen(s1);    int len2=strlen(s2);    int c[MaxLen][MaxLen];//c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度    LCSubstring(s1,s2,len1,len2,c);    system("pause");    return 0;}

4.最长递增子序列

4.1参考文献：

http://blog.csdn.net/hhygcy/article/details/3950158

4.2解题思路

既然已经说到了最长公共子序列，就把这个递增子序列也说了。同样的，这里subsequence表明了这样的子序列不要求是连续的。比如说有子序列{1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 }，这样一个字符串的的最长递增子序列就是{1,3,4,5,6,7}或者{1,3,4,5,6,19}。

其实这个问题和前面的最长公共子序列问题还是有一定的关联的。

假设我们的初始的序列 S1= {1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 }。
那我们从小到大先排序一下。得到了S1'={1, 1, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7 , 8, 9, 11, 19}。

这样我们再求S1和S1'的最长公共子序列就是S1的最长递增子序列了。这个过程还是比较直观的。但是这个不是这次要说的重点，这个问题有比较传统的做法的.

我们定义L(j)是一个优化的子结构,也就是最长递增子序列。那么L(j)和L(1..j-1)的关系可以描述成

L(j) = max {L(i), i<j && Ai<Aj } + 1; 也就是说L(j)等于之前所有的L(i)中最大的的L(i)加一。这样的L(i)需要满足的条件就是Ai<Aj。这个推断还是比较容易理解的。就是选择j之前所有的满足小于当前数组的最大值。

最后求max(L(j))就是最长递增子序列，需要注意的是L[len-1]并不一定是最长递增子序列的长度。

4.3代码实现

#include<iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MaxLen 100//方法1：通过求有向无环图的最长路径来求最长递增子序列，通过二维数组构建有向无环图。int LIS(int arry[],int len,int e[][MaxLen],int L[]){    int i,j;    //初始化有向图    for(i=0;i<len;i++)    {        L[i]=1;//初始化L[]        for(j=i+1;j<len;j++)        {            if(arry[i]<arry[j])                e[i][j]=1;            else                e[i][j]=0;        }    }    //转换为求有向图的最长路径    for(i=0;i<len;i++)    {        for(j=i+1;j<len;j++)        {            if(e[i][j]==1&&L[j]<1+L[i])            {                L[j]=1+L[i];            }        }    }    int max=0;    //根据L[i]求最长递增子序列    for(int i=0;i<len;i++)        if(L[i]>max)            max=L[i];    return max;//L[len-1]不一定就最长递增子序列的长度}//方法2：int LIS2(int arry[],int len,int L[]){    int i,j;    for(i=0;i<len;i++)    {        L[i]=1;//初始化L[]    }    for(i=1;i<len;i++)    {        for(int j=i+1;j<len;j++)        {            if(arry[i]<arry[j]&&L[j]<1+L[i])                L[j]=1+L[i];        }    }    int max=0;    //根据L[i]求最长递增子序列    for(int i=0;i<len;i++)        if(L[i]>max)            max=L[i];    return max;//L[len-1]不一定就最长递增子序列的长度}//打印最长递增子序列void printString(int p[],int k,int arry[]){    if(p[k]==-1)        return;    printString(p,p[k],arry);    cout<<arry[k];}//方法3：int LIS3(int arry[],int len,int L[]){    int p[MaxLen];    int i,j;    for(i=0;i<len;i++)    {        L[i]=1;//初始化L[]        p[i]=-1;    }    for(i=1;i<len;i++)    {        for(int j=i+1;j<len;j++)        {            if(arry[i]<arry[j]&&L[j]<1+L[i])            {                L[j]=1+L[i];                p[j]=i;//表示arry[j]的前一个元素使arry[i]。            }        }    }    int max=0;    int k;    //根据L[i]求最长递增子序列    for(int i=0;i<len;i++)    {        if(L[i]>max)        {            max=L[i];            k=i;        }    }    printString(p,k,arry);    cout<<endl;    return max;//L[len-1]不一定就最长递增子序列的长度}void main(){    int arry[]={5,2,8,6,3,6,9,7};    int len=sizeof(arry)/sizeof(int);    int e[MaxLen][MaxLen];    int *L=new int[len];    cout<<LIS(arry,len,e,L)<<endl;    cout<<LIS2(arry,len,L)<<endl;    cout<<LIS3(arry,len,L)<<endl;    system("pause");}

但是上面的 LIS和 LIS2两种实现都没有给出递增子序列本身，只给出了长度。而 LIS3能够输出一个子序列。举例说明其实现方式:

arry[]={5,2，8，9，3}L[0...i]                                 p[0...i]1, 1, 1, 1, 1                             -1, -1, -1, -1, -1      2, 2                                         0,  0            2                                              1               3                                             2

如上述所示，我们首先初始化数组L[]和p[]，其中L用于记录递增子序列的长度，而p[]用于回溯递增子序列，其中p[j]=i表示arry[i]->arry[j]是一个递增子序列。我们在L[]中能够求出递增子序列的长度max以及递增子序列的末尾元素所在位置k。然后通过k我们回溯数组p，因此这里使用了递归方式打印递增子序列。