RMQ算法与应用.

2、  RMQ算法(转载http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/)

 RMQ:区间最大最小值查询算法

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。

所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

 

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程

F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

万变不离其宗:

F[i,j]的第一维i表示的是区间的始点,第二维表示的是区间的长度2^j.记住这一点,就不会被搞混了.特别记住,区间长度是2^j,则2维是j!

例如:

F[i,j]表示的是[i,i+2^j)这个开区间的最值(最大值或最小值),我们可以将这个开区间分成[i,i+2^(j-1))和[i+2^(j-1),i+2^j)

这两个长度都是2^(j-1)的小开区间,所以F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1]),而且F[i,0]=A[i],即长度为1的区间最值就是它自己.

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)](k往往不精确等于,只是一个下界,所以会把区间一分为2,如果k准确等于,那么max{}中的两个区间都等于原长)，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

http://poj.org/problem?id=3264

#include <iostream>#include<stdio.h>#include <string>#include <math.h>using namespace std;const int MAX_N = 50005;int d[MAX_N];int dpmin[MAX_N][20];int dpmax[MAX_N][20];int n;void Preproccess_Min(){int i , j;for( i = 1 ; i <= n ; i++ )dpmin[i][0] = d[i];//for( j = 1 ; j <= log((double)(n+1))/log(2.0) ; j++ ){for( j = 1 ; (1<<j) <= n ; j++ ){for( i = 1 ; i+(1<<j)-1 <= n ; i++ ){dpmin[i][j] = min( dpmin[i][j-1] , dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1] );    }}     }void Preproccess_Max(){int i , j;for( i = 1 ; i <= n ; i++ )dpmax[i][0] = d[i];for( j = 1 ; (1<<j) <= n ; j++ ){for( i = 1 ; i+(1<<j)-1 <= n ; i++ ){dpmax[i][j] = max( dpmax[i][j-1] , dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1] );    }}     }int GetMax( int a , int b ){int k = (int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));return max( dpmax[a][k] , dpmax[b-(1<<k)+1][k] );    }int GetMin( int a , int b ){int k = (int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));return min( dpmin[a][k] , dpmin[b-(1<<k)+1][k] );    }void Init(){Preproccess_Min();Preproccess_Max();}int main(){   int i , m , a , b;scanf("%d%d",&n,&m);for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){scanf("%d",&d[i]); } Init();while( m-- ){scanf("%d%d",&a,&b);     printf("%d\n",GetMax(a,b)-GetMin(a,b));  }   return 0;    }

题目1544：数字序列区间最小值

时间限制：1 秒

内存限制：128 兆

特殊判题：否

提交：486

解决：92

题目描述：

给定一个数字序列，查询任意给定区间内数字的最小值。

输入：

输入包含多组测试用例，每组测试用例的开头为一个整数n(1<=n<=100000)，代表数字序列的长度。
接下去一行给出n个数字，代表数字序列。数字在int范围内。
下一行为一个整数t(1<=t<=10000)，代表查询的次数。
最后t行，每行给出一个查询，由两个整数表示l、r(1<=l<=r<=n)。

输出：

对于每个查询，输出区间[l,r]内的最小值。

样例输入：

53 2 1 4 331 32 44 5

样例输出：

113

#include <iostream>#include<stdio.h>#include <string>#include <math.h>using namespace std;const int MAX_N = 50005;int d[MAX_N];int dpmin[MAX_N][20];int dpmax[MAX_N][20];int n;void Preproccess_Min(){int i , j;for( i = 1 ; i <= n ; i++ )dpmin[i][0] = d[i];//for( j = 1 ; j <= log((double)(n+1))/log(2.0) ; j++ ){for( j = 1 ; (1<<j) <= n ; j++ ){for( i = 1 ; i+(1<<j)-1 <= n ; i++ ){dpmin[i][j] = min( dpmin[i][j-1] , dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1] );    }}     }void Preproccess_Max(){int i , j;for( i = 1 ; i <= n ; i++ )dpmax[i][0] = d[i];for( j = 1 ; (1<<j) <= n ; j++ ){for( i = 1 ; i+(1<<j)-1 <= n ; i++ ){dpmax[i][j] = max( dpmax[i][j-1] , dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1] );    }}     }int GetMax( int a , int b ){int k = (int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));return max( dpmax[a][k] , dpmax[b-(1<<k)+1][k] );    }int GetMin( int a , int b ){int k = (int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));return min( dpmin[a][k] , dpmin[b-(1<<k)+1][k] );    }void Init(){Preproccess_Min();//Preproccess_Max();}int main(){   int i , m , a , b;while(scanf("%d",&n)!=EOF){for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){scanf("%d",&d[i]); } Init();scanf("%d",&m);while( m-- ){scanf("%d%d",&a,&b);     printf("%d\n",GetMin(a,b));  }   }return 0;    }