最长公共子序列LCS问题

LCS是一个很基础的DP问题，最近看的一些东西的根源都是这个问题，在此总结一下。

 

设两个序列为a，b，First(a)表示a的第一个元素，Rest(a)表示除第一个元素以外的a的剩余元素组成的序列

LCS(a,b)表示a，b的最长公共子序列数目，则：

LCS(a,b) = { 1+LCS(Rest(a),Rest(b)),  First(a)=First(b)

                     { MAX( LCS(a,Rest(b)) , LCS(Rest(a),b) ),  First(a)!=First(b)

思路：当两个序列首元素相同时，当前LCS为两个序列（除首元素外）剩余序列的LCS值+1；否则，为第一个序列和第二个剩余序列的LCS、第一个剩余序列和第二个序列LCS的最大值。

 

这个算法用递归很好实现，搜索空间为n^2，但是不难发现，在每一步计算时，当前的LCS(a,b)可能已经被之前的递归步骤计算过了。所以，可以运用动态规划，计算每一步的状态并求解。

 

设dp[i][j]表示以a[i]和b[j]开始的子序列的LCS值，则递归方程为：

a[i]==b[j], dp[i][j] = 1+lcs(i+1,j+1)

a[i]!=b[j], dp[i][j] = MAX(lcs(i+1,j),lcs(i,j+1))

 

再注意递归边界即可。

 

代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 100;string a,b;int n,m;int dp[maxn][maxn];int MAX(int x,int y){return x>y?x:y;}int lcs(int i, int j){if(i>=n || j>=m)return 0;if(dp[i][j]>=0)return dp[i][j];if(a[i]==b[j])dp[i][j] = 1+lcs(i+1,j+1);elsedp[i][j] = MAX(lcs(i+1,j),lcs(i,j+1));return dp[i][j];}int main(){a = "ABAC";b = "DADDAC";n = a.length();m = b.length();memset(dp,-1,sizeof(dp));cout<< lcs(0,0) << endl;}