矩阵的相关知识

§1   阶行列式的定义

下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式。

二阶行列式

其中 ①  是 的全排列， ②  是 的逆序数， ③  是对所有 的全排列求和。

三阶行列式

其中 ①  是 的全排列， ②  是 的逆序数， ③  是对所有 的全排列求和。

n 阶行列式的定义

其中 ①  是 的全排列， ②  是 的逆序数， ③  是对所有 的全排列求和。

例：  ，

§2  矩阵的初等变换

定义   下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

1．   互换两行（记  ）；

2．   以数   乘以某一行（记 ）；

3．   把某一行的  倍加到另一行上（记 ）。

若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义   若矩阵  经有限次初等行变换变成矩阵 ，则称 与 行等价，记 ；

若矩阵  经有限次初等列变换变成矩阵 ，则称 与 列等价，记 ；

若矩阵  经有限次初等变换变成矩阵 ，则称 与 等价，记 。

等价关系满足：

1．   反身性：  ；

2．   对称性：  ；

3．   传递性：  。

§3  初等矩阵

定义   单位阵  经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有如下形式：

1 ． 

2 ． 

3 ． 

上述  就是三种初等矩阵。

§4  矩阵的秩

定义  在  矩阵 中，任取 行 列的元素，按原排列组成的 阶行列式，称之为 的 阶子式。

      若  矩阵 中有一个 阶子式 ，并且所有的 阶子式全为零，则称 为 的最高阶非零子式， 称为 的秩，记 。

例  在  中，一个2 阶子式  ，所有3 阶子式均为零： 
 ， ， ， 
故  。

特别，当 阶方阵 的行列式 ，则 ；反之，当 阶方阵 的秩 ，则。因此 阶方阵可逆的充分必要条件是 （满秩）。

定理  若  ，则 。（矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩）

定理    矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理    初等变换不改变矩阵的秩。

定理    矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

例  求  的秩，以及一个最高阶非零子式。

解  用初等行变换化  为行阶梯形矩阵：

所以， ， 是 的一个最高阶非零子式。