hdu2824 The Euler function 欧拉函数

来源:互联网 发布:江西电子软件学校 编辑:程序博客网 时间:2024/05/15 03:44
欧拉函数
题目大意:给定两个整数a,b,计算a、b之间的欧拉函数值。
算法分析:

定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。

    例如:φ(8) = 4,因为1357均和8互质。

性质:1.p是质数,φ(p) = p-1.

   2.n是质数pk次幂,φ(n) = (p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

   3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn) = φ(m)φ(n).

  根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

  E(k) = (p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

    = k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

    = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(aN的质因素)

  若 ( N%a == 0 && (N/a)%a == 0 ) 则有:E(N) = E(N/a)*a;

  若 ( N%a == 0 && (N/a)%a != 0 ) 则有:E(N) = E(N/a)*(a-1);

下面为递推求欧拉函数phi(i)的模版

*==================================================*\

| 递推求欧拉函数phi(i)
\*==================================================*/
for (i = 1; i <= maxn; i++)
phi[i] = i;
for (i = 2; i <= maxn; i += 2)
phi[i] /= 2;
for (i = 3; i <= maxn; i += 2)
if(phi[i] == i)
{
for (j = i; j <= maxn; j += i)
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
代码如下:

#include<iostream>using namespace std;#define maxn 3000005__int64 phi[maxn];void Euler(){ int i,j; for(i = 1; i <= maxn; i++) phi[i] = i; for(i = 2; i <= maxn; i += 2) phi[i] /= 2; for(i = 3; i <= maxn; i += 2) if(phi[i] == i) { for (j = i; j <= maxn; j += i) phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); //j=i,2*i,3*i。。。。所以是运用推论,ph[i]=i表明i为质数。。。 } for(i = 2;i <= maxn;i++) { phi[i] += phi[i-1]; }}int main(){ Euler(); int a,b; while(scanf("%d%d",&a,&b) != EOF) printf("%I64d\n",phi[b] - phi[a-1]); return 0;}