n维线性空间上的几何：直线与平面的方程

高维几何是泛函研究的主要对象之一，可对何谓高维几何，笔者没见到明显的定义。笔者认为，所谓高维几何，就是把高维向量空间，同时视为点的集合，研究她的子集的性质和子集之间的关系的学科，就是高维几何(是否如此，请给予点评)。
　　那么点与向量有什么关系，他们的表示方法有何区别，在以往的泛函分析中没有明确的概念。一开始用的概念是向量，但当提到距离时，又变成了点，令人摸不到头绪。
　　当然笔者要研究的几何主要是欧氏空间里的几何。但欧氏空间是特殊的线性空间，我也先犯一次同样的错误，而先说一说线性空间的点与向量的关系及表示方法。用V^n(因这里不能编辑上标,因此用^n表示上标为n,当V为数值时V^n表示V的n次幂)表示n维线性空间。
　　要先指定一点，称其为原点，用O表示。如果网友问。怎样指定呀，我也不能作出准确的答复，我只能说，你读初中时，经常要在平面直角坐标系内画一次函数与二次函数的图象，你是怎样指定原点的，这里与那里一样。而每一个向量都有起点与终点，一个向量的起点可以是空间中的任何位置，但只要起点位置确定，那么它的终点位置也就确定了；反过来说，两点可以确定一个向量。由A,B两点确定的向量写为‘向量AB’，向量的一般表示方法是用一个小写字母。如果向量a是由A,B两点确定，记为a=AB。
　　我们知道，把n个线性无关的向量e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),……,en=(0,0,0,…,1)称为V^n的一组标准基。又因V^n内的任意向量x=(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn∈R,R为实数集)是x=x1*e1+x2*e2+…+xn*en的简化写法,因此可把(x1,x2,…,xn)称为x在标准基下的坐标(简称为x的坐标),xi(i=1,2,…,n)称为x的第i(维)坐标.
　　以原点为起点的向量x=(x1,x2,…,xn)的终点也称为点x，把(x1,x2,…,xn)也称为点x的坐标，即以原点为起点的向量与它的终点可以用同一字母表示，并且坐标表示方法也一样。在叙述过程中，根据需要可以把x时而称为向量，时而称为点，但是点不是向量，向量也不是点，这看上去有点混乱，但应用起来很方便，你会觉得一点混乱的感觉也没有，在微分几何里，图形的向量式方程不就是如此吗。无论x是点还是向量，都可记x=(x1,x2,…,xn)。由此可知,V^n中以原点为起点的向量与V^n中的点一一对应。起点和终点重合的向量是零向量,零向量记为o=(0,0,…,0).当没给出向量的起点时,一般都认为它以原点为起点。当某点的坐标为(a1,a2,…,an)且用大写字母A表示该点时,其坐标可记为A(a1,a2,…,an)或A(a)(其中a=(a1,a2,…,an)),原点为O(0,0,…,0). 

　　无论是《立体几何》，还是《空间解析几何》，它们首先研究的都是直线和平面，因为它们是三维空间里的最基本的图形。如果对直线和平面没有充分的认识，对其它复杂的图形就很难取得很深入的认识。
　　当把n维线性空间V^n视为点集时，把它的每个子集都称为V^n内的图形。
因此对V^n上的几何的研究，也应首先研究类似直线与平面的图形。把V^n中类似直线与平面的图形也称为直线与平面。不过这里的直线与平面的维数并不是1与2。直线一般有一维的，二维的，三维的……直至n-2维的；平面一般有二维的，三维的，直至n-1维的。
　　n维线性空间中也有封闭的几何图形，如平行六面体，三棱锥等也都可以是V^n中的图形，如果它们在一个“三维平面”内，即是说立体图形在平面内，在语言上总有点别扭，因此该给其再取一个名字。因有平面几何，立体几何之分，因此笔者认为称其为“立体”是比较合适的(取这个名字是否合适，请阅读帖子的网友或老师给予指正，笔者不胜感激。)
　　这里的直线，平面，立体是相对概念。象三辈人站在一起一样，处在中间辈份的人，在他爸爸面前，他是儿子，在他儿子面前，他是爸爸。一个立体，在比它高一维的立体前，可称它为平面，在比它高两维的立体面前，可以称它为直线；一条直线在比它低一维的直线面前，可称它为平面，在比它低两维的直线面前，又可称它为立体。这样称呼，可增加V^n的直观感。
　　
　　

(一维)直线的方程

　　在三维以内的空间里，对几何问题所以能作出定量分析，就是因为对作定量分析的图形都给出了方程。可在泛函分析中，为什么不给出一些构造简单的图形的方程呢？
先来考察平面解析几何中直线的参数方程，设以t(-∞≤t≤+∞)为参数的直线p的参数方程为：
　　x=2t-1
　　y=3t+4
　　显然直线p经过点(-1,2)，而(x,y)是p上的任意一点。把方程用向量的形式表示出来，就是
　　(x,y)=(2,3)t+(-1,4)
　　把这种形式的方程称为向量式(可以这样定义吧)，实质上是参数式的变形。
　　这时(x,y)与(-1,4)是点还是向量，说得清吗，可以说这时它们既是点，又是向量，在运算过程中它们是向量，运算前与运算后的结果，它们是点。因此时而把它们称为点，时而把它们称为向量，什么时候称向量，什么时候称点，只能是根据语言环境的需要(这种说法能得到阅读者的首肯吗，如有不同观点，请给予指点)。
　　如果令r=(x,y),a=(2,3),b=(-1,4)，则的方程形式为r=at+b,可以说直线p经过点b由向量a确定。显然p是有向直线，称向量a的方向为p的正向。从而-a是直线的负向。p又是数直线，b是它的原点，a是它的单位。
　　如果已知直线q经过两点a(c,d),b(e,f),正方向为b-a，原点为a，则直线q的方程为：
　　r=(b-a)t+a，
这个方程可称为有向直线方程的两点式；
　　因r=(b-a)t+a=a(1-t)+bt,令u=1-t,v=t，则u+v=1，从而方程又变形为
　　r=au+bv(u+v=1)
　　用这种形式表示的直线是没有方向的。可称无向两点式，那前面的就是有向两点式了。

　　设直线p以t为参数的参数方程为
　　　x=ct+f
　　　y=dt+g
　　　z=et+h
变形为向量式为
　　(x,y,z)=(c,d,e)t+(f,g,,h)
　　令p上的任意一点r=(x,y,z),p上的定点b=(f,g,h),向量a=(c,d,e),则直线p的方程变形为：
　　r=at+b
　　称p为过点b由向量a确定的直线。
　　如果直线q过a,b两点，则有两点式有
　　r=(b-a)t+a 或
　　r=au+bv(u+v=1)
　　设直线p过n维线性空间的点b=(b1,b2,…,bn),由向量a=(a1,a2,…,an),p上的任意一点
　　x=(x1,x2,…,xn)
　　推论得p的向量式方程为：
　　x=at+b
　　即它的参数方程为：
　　x1=a1*t+b1
　　x2=a2*t+b2 
　 ……　……　……
　　xn=an*t+bn
　　过两点a,b的直线q的方程可分别为
　　x=(b-a)t+a 或
　　x=au+bv(u+v=1)
　　直线x=at+b上的任意一点由t的值决定，当t=t0时所确定的点A可记为点A(t0)。
　　设A(t1),B(t2)是直线x=at+b上的两点，则闭线段[AB]的方程为
　　x=at+b(t1≤t≤t2)
　　开线段(AB)的方程为
　　x=at+b(t1＜t＜t2)
　　直线x=(b-a)t+a上，a,b两点间的线段方程为
　　x=(b-a)t+a(0≤t≤1) (有方向，由a到b) 或
　　x=au+bv(u+v=1,u≥0,v≥0)(无方向)
　　n维线性空间内有向量AB＋向量BC＝向量AC，从而知若向量a+b=c，则是把b的起点放在a的终点，那么和向量c的起点是a的起点，c的终点是b的终点。
　　又因向量AC－向量BC＝向量AB，可知向量c-b的几何意义为，使c,b的终点重合，则c的起点是差向量a的起点，b的起点是差向量a的终点。

(二维)平面的方程

　　n维线性空间V^n中的2维平面记为α^2。
　　在三维空间中有公理：不在一直线上的三点确定一个平面。那么这个公理在n维线性空间中仍然成立。
　　设a=(a1,a2,…,an),u=(u1,u2,…,un),v=(v1,v2,…,vn)是内不共线的三点，令b=u-a=(b1,b2,…,bn)=(u1-a1,u2-a2,…,un-an)，c=v-a=(c1,c2,…,cn)=(v1-a1,v2-a2,…,vn-an)，则b,c两向量线性无关。反之若b,c线性无关，则a,u.v三点不共线。
　　设三点a,u,v所确定的平面为α^2，点x=(x1,x2,…,xn)是上α^2的任意一点，那么有x-a,b,c线性相关，因此存在两个不全为0的实数s,t，使x-a=bs+ct，即x=a+bs+ct，把x=a+bs+ct　称为平面的向量式方程。s,t称为参数。它还可以化成平面的参数方程：
　 x1=a1+b1*s+c1*t
　 x2=a2+b2*s+c2*t
　…… …… …… ……
　 xn=an+bn*s+c2*t
　　把α^2称为经过点a，由向量b,c确定的平面。由此可得：
　　一点与两个线性无关的向量确定一个(二维)平面。
　　设三个列向量x,a,T与n行两列阵B对应如下：
　　　 x　　　a　　　 B　 　 T
　　| x1 | | a1 | | b1 c1 | 
　　| x2 | | a2 | | b2 c2 | | s |
　　| x3 | | a3 | | b3 c3 | | t |
　　| … | | … | | … … |
　　| xn | | an | | bn cn |
　　则α^2又可表示成矩阵形式α^2：x=a+BT，可称B为α^2的方向阵。
　　在进行证明例题时一般采用较简明的向量形式，当用具体数值表示二维平面时用的是矩阵形式。就是说在进行具体运算时，矩阵形式是简明有效的。
　　由上面的叙述过程知，α^2又可看做是由三点a,u,v所确定，其方程可为：
　　x=a+(u-a)s+(v-a)t （可称为二维平面的三点式）。

m维平面的方程

　　n维线性空间里的m(m=1,2,…,n-1)维平面记为α^m。由一点与两个线性无关的向量确定一个(二维)平面，可推广得：
　　一点与m个线性无关的向量确定一个m维平面。
　　设点b=(b1,b2,…,bn)与m个线性无关的向量ai=(a(1,i),a(2,i),…,a(n,i))(i=1,2,…,m)所确定的m维平面为α^m，则它的向量式方程为
　　α^m：x=b+a1*t1+a2*t2++am*tm,
　　从而其以t1,t2,…,tm为参数的参数方程为：
　　xi=b1+a(i,1)*t1+a(i,2)*t2++a(i,m)*tm (i=1,2,…,m)
　　令x,b,Tm分别为(x1,x2,…,xn),(b1,b2,…,bn),(t1,t2,…,tm)的转置后的列向量，矩阵A为以a(i,j)为第i行第j列的n行m列的矩阵。则α^m的方程用矩阵表示为x=b+A*Tm，A称为α^m的方向阵。
　　包括前面的直线与二维平面的参数方程的参数取值皆为集合无穷区间 (-∞,+∞)。
　　由m=1,2,…,n-1知向量式方程x=b+a1*t1+a2*t2++am*tm不但表示2到n-1维的平面，也表示了一维直线。
　　在n维空间里存在2到n-1维的平面，笔者至今还没发现在哪一有关几何的学科中有清晰的表述，更不要说给出它们的方程了。
　　由平面解析几何与空间解析几何知这类几何图形应是最基本的图形。对这类图形没有深入的研究，不能不是以往的几何学的致命缺陷。
　　关于概念的引入问题，以往的几何学都严格遵循欧拉给出的最初定义“平面流形”，不敢越雷池半步。高维空间本来就是比较抽象的，因此我们应该尽可能直观地描述她。采用笔者的m维直线，平面，立体等的概念，可增加n维空间的直观性，给出了方程，更为定量分析打下了牢固的基础。

 

注解：

参数方程相当于显函数：
　　y1=f1(x1,x2,…xn）
　　y2=f2(x1,x2,…xn）
  …… …… …… …… ……
　　ym=fm(x1,x2,…xn）　　
而一般方程相当于隐函数：
　　f(y1,y2,…ym;x1,x2,…xn)=0
因此能化成参数方程时，尽可能使用参数方程。
　　如果你问的是为什么要使用方程，那么我的回答是，象空间解析几何一样，用方程去表示曲线，更便于使图形的性质得到定量分析。
　　函数也是方程。
　　数学分析的对象主要是函数，微分几何对图形性质的研究主要是对图形的参数方程进行微分得到的。