平方数的约数个数

有100个灯（编号1-100,初始状态全部关闭），现要进行1000轮switch操作（如果原来是关则打开，如果原来开则关闭）。

在第X轮操作中，若灯的编号i能够整除X，则进行switch操作。

那么这1000轮操作结束后，开着的灯是那些呢？

按题意的代码：

void func1(){bool light[101]={0};for(int i = 1; i <= 1000; i++)//x loop{for(int j = 1; j < 101; j++)//lightif(j%i == 0)light[j] = light[j]==true?false:true;}for(int i = 1; i< 101; i++)if(light[i])cout<<i<<endl;}

稍微优化下：

void func2(){bool light[101]={0};for(int i = 1; i <= 100; i++)//x loop{for(int j = i; j < 101; j+=i)//lightlight[j] = light[j]==true?false:true;}for(int i = 1; i< 101; i++)if(light[i])cout<<i<<endl;}

也就这样了吧，还能优化么？

来看看结果：

1
4
9
16
25
36
49
64
81
100

怎么都是平方数？

因为平方数的约数个数为奇数，所以状态发生改变 ；其它数的约数为偶数，状态不变。

为什么？

充分性
1.n=1时正约数1个，是奇数
2.n>1时
n^2的约数:1...n...n^2
1和n之间每多一个约数，例如m，那么n到n^2之间就会多一个约数n^2/m
就是说除了这三个约数，其他的约数是成对出现的，也就是说约数的个数
是3+偶数，结果必为奇数 

必要性：
1.如果一个数的公约数是1和他本身，那它就是质数，肯定不是完全平方数
2.如果一个数m的公约数是1和他本身m，还有其他的公约数,我们设其中一个数为p，那么必定存在一个约数m/p
也就是说公约数是成对出现的，除非这两个数相等，也就是同一个数，否则公约数的个数就肯定是偶数

void funcs(){for(int i = 1; i <= 100 && i*i <= 100; i++)cout<<i*i<<endl;}