最长递增子序列

最长递增子序列又叫做最长上升子序列；子序列，正如LCS一样，元素不一定要求连续。本节讨论实现三种常见方法，主要是练手。

题：求一个一维数组arr[i]中的最长递增子序列的长度，如在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，最长递增子序列长度为4，可以是1，2，4，6，也可以是-1，2，4，6。

方法一：DP

像LCS一样，从后向前分析，很容易想到，第i个元素之前的最长递增子序列的长度要么是1（单独成一个序列），要么就是第i-1个元素之前的最长递增子序列加1，可以有状态方程：

LIS[i] = max{1,LIS[k]+1}，其中，对于任意的k<=i-1，arr[i] > arr[k]，这样arr[i]才能在arr[k]的基础上构成一个新的递增子序列。

#include "iostream"#include "vector"#include "ctime"#include "cstdlib"using namespace std;std::vector<int> maxlen;int lislen;void LIS(const vector<int> &a){lislen = 1;for (int i = 1; i < a.size(); ++i){for (int j = 0; j < i; ++j){if(a[i] > a[j] && maxlen[i] < maxlen[j] + 1){maxlen[i] = maxlen[j] + 1;if(maxlen[i] > lislen){lislen = maxlen[i];}}}}}void printLIS(const vector<int> &a){std::vector<int> lis;int index = a.size() - 1;cout<<lislen<<endl;while(index >= 0 && lislen > 0){if(maxlen[index] == lislen){//此时a[index]属于LISlis.push_back(a[index]);lislen--;}--index;}for (int i = lis.size() - 1; i >= 0; --i){cout<<lis[i]<<"\t";}cout<<endl;}int main(int argc, char const *argv[]){const int N = 10;std::vector<int> a(N);maxlen.resize(N,1);//第一次字符的LIS长度为1srand(time(0));for (int i = 0; i < N; ++i){int rand_num = rand()%100;a[i] = rand_num;cout<<rand_num<<"\t";}cout<<endl;LIS(a);printLIS(a);return 0;}

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