HDU1402

利用傅立叶变换可以把大数乘法时间控制在：O（n*lgn)，首先把整数a1a2...an看作多项式f(x) = a1x + a2x^2 + .... an x^n(其中x取10），把整数乘法转换为多项式乘法，多项式一般乘法也要O(n*n)时间，而多项式点值表示法的乘法只需要O(n)的时间，于是就有了条折返路线，如下：

1.首先把f(x)扩展为2n次多项式，取2n个点求多项式值  (O(nlgn))

2.在对这两的多项式的点值表示进行乘积     （O（n))

3.在对所得的点值进行插值得到结果多项式的系数   (O(nlgn))

过程就是：系数  -> 点值  -> 系数

第一步如果随意取2n个点进行求值，也要O（n*n)，而如果利用单位复根exp(iu)的诸多性质就可以在O(nlgn)时间内求的点值对，也可以在O(nlgn)时间内插值，具体可以参考《计算方法引论》中的证明。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;#define MAXN 500005#define PI acos(-1.0)struct vir{double r,i;vir(double r = 0.0,double i = 0.0){this -> r = r;this -> i = i;}vir operator +(const vir & b){return vir(r + b.r,i + b.i);}vir operator -(const vir & b){return vir(r - b.r,i - b.i);}vir operator *(const vir & b){return vir(r * b.r - i * b.i,r * b.i + i * b.r);}};char stra[MAXN],strb[MAXN];vir vira[MAXN],virb[MAXN];int ans[MAXN];int init(char *stra,char *strb,vir *vira,vir *virb){int lena = strlen(stra);int lenb = strlen(strb);int len = 1;while(len < 2 * lena || len < 2 * lenb) len <<= 1;//位数扩展2倍int i;for(i = 0;i < lena;i++){vira[i].r = stra[lena-i-1] - '0';vira[i].i = 0.0;}for(;i < len;i++){vira[i].r = vira[i].i = 0.0;}for(i = 0;i < lenb;i++){virb[i].r = strb[lenb-i-1] - '0';virb[i].i = 0.0;}for(;i < len;i++){virb[i].r = virb[i].i = 0.0;}return len;}void bitReverseSort(vir * v,int len)//按逆序数排序{for(int i = 0;i < len;i++){int n = i;int revn = 0;for(int j = 1;j < len;j <<= 1){revn = (revn << 1) | (n & 1);n >>= 1;}if(revn > i){vir t = v[i];v[i] = v[revn];v[revn] = t;}}}void FFT(vir *v,int len,int flag)//flag为1求值，-1插值{bitReverseSort(v,len);for(int r = 1;r < len;r <<= 1){vir wp(cos(PI / r),sin(-flag * PI / r));vir w(1,0);for(int s = 0;s < r;s++){for(int k = s;k < len;k += 2 * r){int l = k + r;vir d = w * v[l];v[l] = v[k] - d;v[k] = v[k] + d;}w = w * wp;}}if(flag == -1){for(int i = 0;i < len;i++){v[i].r /= len;}}}void mul(vir * vira,vir * virb,int len){for(int i = 0;i < len;i++){vira[i] = vira[i] * virb[i];}}void output(vir *vira,int *ans,int len){for(int i = 0;i < len;i++){ans[i] = vira[i].r + 0.5;}for(int i=0;i<len;i++)        {  ans[i+1] += ans[i]/10;ans[i] %= 10;        }int pos = len - 1;while(!ans[pos] && pos > 0)pos--;for(int i = pos;i >= 0;i--){printf("%d",ans[i]);}printf("\n");}int main(){while(scanf("%s%s",stra,strb) != EOF){int len = init(stra,strb,vira,virb);FFT(vira,len,1);FFT(virb,len,1);mul(vira,virb,len);FFT(vira,len,-1);output(vira,ans,len);}return 0;}//94162362013-10-26 10:13:27Accepted1402265MS16512K2836 BG++超级旅行者

参考资料：

《计算方法引论》 第三版 徐萃薇

《算法导论》