斐波那契堆

斐波那契堆同二项堆一样,也是一种可合并堆。相对于二项堆，斐波那契堆的优势在于如果不涉及删除元素的操作，则它的平摊运行时间为O（1）。但是由于其算法过于复杂， 因而实际上更多的是用二项堆。

一、定义

一个斐波那契堆具有如下性质：

1. 堆有一组有序树组成，但是堆中的树不一定是二项树
2. 斐波那契堆中的树之间是无序的（二项堆中的树是按照其包含的二项树的度数排序的）
3. 堆中每个节点的数据结构包含如下域：
   1. 指向其父节点的指针域
   2. 指向其任意一个孩子的指针域
   3. 任意一个节点x的所有孩子被链接在一个双向链表环形链表中
   4. 节点x中保存有它的孩子的数目degree
   5. 节点x中存在一个域mark，用于表示自从x上一次称为另一个节点的子女以来，它是否失掉了一个孩子，TRUE表示是失去了，FALSE表示未失去
4. 斐波那契堆中的所有树的树根被保存在一个链表即根表中
5. 对于一个斐波那契堆，min[H]保存了具有最小节点值的根节点

下图即为一个斐波那契堆的示例：

对于斐波那契堆上的各种可合并操作，关键思想是尽可能久地将工作推后，可以理解为斐波那契堆的操作是懒惰的。

二、插入新节点

插入新节点在斐波那契堆中非常简单，将新的节点当做一棵新的树的根插入到根表中即可。下图即为一个示例：

上图为往斐波那契堆中添加新的节点21的情形。

三、合并两个斐波那契堆

合并两个斐波那契堆的操作非常简单，可以分为两步：

1. 将两个根表通过指针合并为一个根表（如果是c语言实现，只需要让其中一个根表的最后一个节点的next指向另一个堆的根表的头即可）
2. 更新min[H]，这一步也很简单，只需要比较两个堆的min[H]，取较小的即可

四、删除最小节点

删除最小节点的操作比较复杂， 推迟的工作在这里都要被完成，其算法思想为：

1. 删除最小节点，并将被删除节点的每个孩子都看做新的堆中的一棵树的根，将它们加入到根表中
2. 遍历根表，合并度数相同的树
   1. 定义一个辅助数组A，A[i]=y表示树 y 的degree值是 i，数组的元素被初始化为NULL。
   2. 获取当前根节点所在树的degree
   3. 如果A[degree]！=NULL，则发现两棵度数相同的树，按照排序树的要求合并它们，并更新合并后所得树的degree（按照合并算法，它必然是degree较大那个值加1），执行第5步
   4. 如果A[degree]！=NULL，则更新A[degree]为当前节点
   5. 遍历下一个节点

下图即为一个示例：

上图即为删除最小节点的一个示例。

五、减小一个节点的关键字

减小一个关键字的字，会破坏最小堆的性质，所以要进行最小堆维护。因为斐波那契支持减小关键字和删除结点操作，所以斐波那契堆的子树就不一定是二项树了。
减小一个关键字的算法思想如下：

1. 减小关键字，如果破坏最小堆性质，则将该结点a直接从原来的树移除直接串联在根表中
2. 如果节点a的父节点p没有失去过孩子，则将父结点p的mark属性设置成true，即标记为该节点失去过孩子，然后结束，否知执行下一步
3. 将节点p当做被删除节点a，将它从树中剪掉，移到根表中
4. 回到第2步执行

一个示例如下图所示：

六、删除一个关键字

基于较小关键字和删除最小节点的操作，删除一个关键字的操作很简单，分为如下几步：

1. 找到要删除的关键字
2. 将该关键字减小为比最小值还小的值
3. 删除最小关键字节点