haffman树

1. 简介

     haffman编码主要用于数据压缩，huffman树可以解决二进制编码时码长最短且无二义性。haffman树是haffman编码的基础。根据字符出现的频率，利用haffman树可以构造一种不等长的二进制编码，并且构造所得的haffman编码是一种最优前缀编码，可以使编码后的电文长度最短，且保证任何一个字符的编码都不是同一字符集中另一字符码的前缀。

 

2.haffman树的概念

     haffman树是带权路径长度最小的二叉树。

     几个基本的概念：

     结点的路径长度：从根结点到该结点的路径上的边数。

     树的路径的长度：树中每个叶子结点的路径长度之和。

     结点的带权路径长度：结点的路径长度与结点权值的乘积。

     树的带权路径长度：树的带权路径长度WPL（Weight Path Length）是树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

 

3.haffman树构造方法

  算法：

  （1）根据权值w1,w2,w3,...,wn构造n个二叉树F={T1,T2,...,Tn}，其中Ti是只含权值wi的结点

  （2）从F中选两个权值最小的二叉树Ti和Tj，构造一个根结点R，R的权WR为Wi+Wj。

  （3）从F中删除Ti和Tj，加入新的树根结点R到F中。

  （4）重复步骤2和步骤3，直到F中只有一棵树为止。

 

haffman树构建示意图：

 

 

4.haffman编码及其实现

  haffman树是haffman编码的基础，利用haffman树可以构造haffman编码。haffman编码的基本原理是频繁使用的数据用较短的代码代替，而较少使用的数据则用较长的代码代替，这样可以使报文中的编码数减到最小，从而达到压缩的目的。

    例如给出一段报文： ABCD ABCD CBD BD B DBCB

    报文中出现的字符集{A,B,C,D}，其中B出现的次数最多，7次，其次是D，5次，然后依次是C和A，分别出现的次数为4和2。对4个字符进行编码，至少需要两位二进制码。首先给出不经过压缩的方法，每个字符两位二进制编码为A:00   B:01   C:10   D:11，则将原文编码所得结果如下：

    00011011  00011011 100111 0111 01 11011001   编码长度为36

采用 haffman编码，则 B:0  D:10  C:110  A:111

     报文编码结果： 111011010 111011010 110010 010 0 1001100  编码长度为35

 

    利用构建的haffman树的方法可以得到报文的haffman编码，具体算法如下：

 （1）统计处每个符号出现的频率，例如上例中的频率统计为{2/18,7/18,4/18,5/18}.

 （2）从左到右把上述的频率按从小到大的顺序排列。

 （3）每一次挑出的最小的两个值作为二叉树的两个叶结点，并将它们合并后的结点作为根结点，这两个结点不再参与比较，新的根结点参与比较。

 （4）重复上一步，直到最后得到和为1 的根节点。

 （5）将新形成的二叉树的左结点标0，右结点标1。把从最上面的根结点到最下面的叶子结点途中遇到的0,1序列串起来，就得到各个符号的编码

 当报文中高频字符频率较高时，haffman呈现出较高的压缩比。haffman不仅应用于文本编码，而且同样应用于图像编码等领域中。haffman优点在于：

       a）  对于给出的报文可以得到最短编码

       b）  非同一个字符的任意两个字符A和B，不会出现A的编码时B的编码的前缀这种情况。这是因为如果设编码字符集为{C1,C2,...,Cn}，那么根到任何叶子结点Ci的路径都不会是另一个编码的前缀。因而两个字符之间不需要分隔符。

 

    由上文可知，产生haffman编码需要对原始数据扫描两遍。第一遍扫描是为了统计出原始数据中的每个值出现的频率，第二遍是建立haffman树进行编码，由于需要建立二叉树并遍历二叉树生成的编码，因此数据压缩和还原速度比较慢。