等概率随机函数的实现

题目：

       已知随机函数rand(),以p的概率产生0，以1-p的概率产生1，现在要求设计一个新的随机函数newRand(), 使其以1/n的等概率产生1~n之间的任意一个数。

分析：
      可以通过已知随机函数rand()产生等概率产生0和1的新随机函数Rand()，然后调用k（k为整数n的二进制表示的位数）次Rand()函数，得到一个长度为k的0和1序列，以此序列所形成的整数即为1--n之间的数字。注意：从产生序列得到的整数有可能大于n，如果大于n的话，则重新产生直至得到的整数不大于n。

       第一步：由rand()函数产生Rand()函数，Rand()函数等概率产生0和1。

int Rand()  {      int i1 = rand();      int i2 = rand();      if(i1==0 && i2==1)          return 1;      else if(i1==1 && i2==0)          return 0;      else          return Rand();      return -1;  }  

       第二步：计算整数n的二进制表示所拥有的位数k，k = 1 +log2n（log以2为底n）
       第三步：调用ｋ次Rand()产生随机数。

int newRand()  {      int result = 0;      for(int i = 0 ; i < k ; ++i)      {          if(Rand() == 1)              result |= (1<<i);      }      if(result > n)          return newRand();      return result;  }  

题目：

       给定一个函数rand5()，该函数可以随机生成1-5的整数，且生成概率一样。现要求使用该函数构造函数rand7()，使函数rand7()可以随机等概率的生成1-7的整数。
分析：
       很多人的第一反应是利用rand5() + rand()%3来实现rand7()函数，这个方法确实可以产生1-7之间的随机数，但是仔细想想可以发现数字生成的概率是不相等的。rand()%3 产生0的概率是1/5，而产生1和2的概率都是2/5，所以这个方法产生6和7的概率大于产生5的概率。
正确的方法是利用rand5()函数生成1-25之间的数字，然后将其中的1-21映射成1-7，丢弃22-25。例如生成(1，1)，(1，2)，(1，3)，则看成rand7()中的1，如果出现剩下的4种，则丢弃重新生成。
简单实现：

int rand7()  {      int x = 0;      do      {          x = 5 * (rand5() - 1) + rand5();      }while(x > 21);      return 1 + x%7;  }  

我的备注：
       这种思想是基于，rand()产生[0,N-1]，把rand()视为N进制的一位数产生器，那么可以使用rand()*N+rand()来产生2位的N进制数，以此类推，可以产生3位，4位，5位...的N进制数。这种按构造N进制数的方式生成的随机数，必定能保证随机，而相反，借助其他方式来使用rand()产生随机数(如 rand5() + rand()%3 )都是不能保证概率平均的。

       此题中N为5，因此可以使用rand5()*5+rand5()来产生2位的5进制数，范围就是1到25。再去掉22-25，剩余的除3，以此作为rand7()的产生器。

题目：
        已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。
分析：

        要保证rand10()在整数1-10的均匀分布，可以构造一个1-10*n的均匀分布的随机整数区间（n为任何正整数）。假设x是这个1-10*n区间上的一个随机整数，那么x%10+1就是均匀分布在1-10区间上的整数。由于(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数（原因见下面的说明），可以将41～49这样的随机数剔除掉，得到的数1-40仍然是均匀分布在1-40的，这是因为每个数都可以看成一个独立事件。
       下面说明为什么(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数:
        首先rand7()-1得到一个离散整数集合{0，1，2，3，4，5，6}，其中每个整数的出现概率都是1/7。那么(rand7()-1)*7得到一个离散整数集合A={0，7，14，21，28，35，42}，其中每个整数的出现概率也都是1/7。而rand7()得到的集合B={1，2，3，4，5，6，7}中每个整数出现的概率也是1/7。显然集合A和B中任何两个元素组合可以与1-49之间的一个整数一一对应，也就是说1-49之间的任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素的一种组合方式，反过来也成立。由于A和B中元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/7*1/7=1/49。因此(rand7()-1)*7+rand7()生成的整数均匀分布在1-49之间，每个数的概率都是1/49。
        程序：

int rand_10()  {      int x = 0;      do      {          x = 7 * (rand7() - 1) + rand7();      }while(x > 40);      return x % 10 + 1;  }  

       注：由朋友问为什么用while(x>40)而不用while(x>10）呢？原因是如果用while(x>10）则有40/49的概率需要循环while，很有可能死循环了。

题目：
       已知random3()这个随机数产生器生成[1, 3]范围的随机数，请用random3()构造random5()函数，生成[1, 5]的随机数？
分析：
       如何从[1-3]范围的数构造更大范围的数呢？同时满足这个更大范围的数出现概率是相同的，可以想到的运算包括两种：加法和乘法。考虑下面的表达式：3 * (random3() – 1) + random3();可以计算得到上述表达式的范围是[1, 9]  而且数的出现概率是相同的，即1/9。下面考虑如何从[1, 9]范围的数生成[1, 5]的数呢？可以想到的方法就是 rejection sampling 方法，即生成[1, 9]的随机数，如果数的范围不在[1, 5]内，则重新取样。
解决方法：

int random5()  {      int val = 0;      do      {          val = 3 * (random3() - 1) + random3();      }while(val > 5);      return val;  }

归纳总结：
       将这个问题进一步抽象，已知random_m()随机数生成器的范围是[1, m] 求random_n()生成[1, n]范围的函数，m < n && n <= m *m
一般解法：

int random_n()  {      int val = 0;      int t;   //t为n的最大倍数，且满足t<m*m      do      {          val = m * (random_m() - 1) + random_m();      }while(val > t);      return val;  }  

      给定一个函数rand()能产生0到n-1之间的等概率随机数，问如何产生0到m-1之间等概率的随机数？

int random(int m , int n)  {      int k = rand();      int max = n-1;      while(k < m)      {          k = k*n + rand();          max = max*n + n-1;      }      return k/(max/n);  } 

      如何产生如下概率的随机数？0出1次，1出现2次，2出现3次，n-1出现n次？

int random(int size)  {      while(true)      {          int m = rand(size);          int n = rand(size);          if(m + n < size)              return m+n;      }  }  

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