二进制 快速count 1

转载：http://www.cnblogs.com/grenet/archive/2011/06/10/2077228.html

http://www.cppblog.com/zenliang/articles/131761.html

　原题：一个正整数，转成二进制后，这个二进制数包含多少个1？

　　这个问题在网上看过多次，几番思考，也没有什么好的办法。采用最基本的办法，逐位判断，是1的统计加1，最后将统计数返回。

　　以下是这个思路的VB2008代码，不失一般性，将正整数的范围控制在（1~2³¹-1）

　　Private Function GetCount1OfValue(ByVal Value As Integer) As Integer
　　　　Dim i As Integer, Count As Integer = 0
　　　　For i = 0 To 30
　　　　　　If (Value And 2 ^ i) = 2 ^ i Then Count += 1
　　　　Next
　　　　Return Count
　　End Function

 

　　但是近日，在网上发现一个很巧妙的算法，能够快速实现上述的计算功能。代码贴于下方

　　Private Function GetCount1OfValue(ByVal Value As Integer) As Integer　　

　　　　Dim Count As Integer = 0

　　　　Do While Value > 0

　　　　　　Value = Value And (Value - 1)

　　　　　　Count +=1

　　　　Loop

　　　　Return Count

　　End Function

 

　　这段代码的精髓就是在这一句：Value = Value And (Value - 1)

　　曾经用过类似语句的在我的博客“判断是否是2的N次方——证明x & (x - 1)==0的正确性”

　　那么这句语句到底起到什么作用呢？看下面的分析

　　假设Value=X₁X₂……X_n-1X_n，其中X_i(1≤i≤n)为1或0

　　不妨设X_i是最右边的1，那么Value就可以写成如下的形式

　　Value=X₁X₂……X_i-1X_i0……0，其中(1≤i≤n)，X_i后面有n-i个0

　　因为X_i=1，所以Value=X₁X₂……X_i-110……0，其中(1≤i≤n)，1后面有n-i个0

　　则Value-1=X₁X₂……X_i-101……1，其中(1≤i≤n)，0后面有n-i个1

　　则Value And (Value-1)=X₁X₂……X_i-100……0，其中(1≤i≤n)，X_i-1后面有n-i+1个0

　　

　　因此，Value And (Value-1)的效果把最右边的1变成0

　　在上面的代码中，每把最右边的1变成0，则统计数加1，直到所有的1变成0为止。

 

　　这两个算法，第一个算法的循环次数是固定的，是31次，无论数值是多少（必须在范围之内）。而第二个算法和Value中的1的个数有关，循环的次数就是1的个数，可见该算法之妙。

l

题目：给定一个无符号32位整数x，求x的二进制表示法中含1的个数？

第一种算法：

int OneCount(unsigned int x)
{
  for(int count=0; x>0; count++)
    x&=x-1;//把最后面的1变0
  return count;
}

 上面算法的时间复杂度就是1的个数。

第二种算法（查表法）：

const int idx[256]={0,1,1,,8}//0~255中含1的个数
int OneCount(unsigned int x)
{
  int count=0;
  for(; x>0; x>>=8)
     count+=idx[x&255];
  return count;
}

上面算法最多只需要4次循环，用空间换取时间。

第二种算法的另一种形式：

const int idx[256]={0,1,1,..,8}
int OneCount(unsigned int x)
{
  unsigned char* p=(unsigned char*)&x;
  return idx[*p]+idx[*(p+1)]+idx[*(p+2)]+idx[*(p+3)];
}

第三种算法：

int OneCount(unsigned int x)
{
  x=(x&0x55555555UL)+((x>>1)&0x55555555UL); //1
  x=(x&0x33333333UL)+((x>>2)&0x33333333UL);//2
  x=(x&0x0f0f0f0fUL)+((x>>4)&0x0f0f0f0fUL); //3
  x=(x&0x00ff00ffUL)+((x>>8)&0x00ff00ffUL); //4
  x=(x&0x0000ffffUL)+((x>>16)&0x0000ffffUL);//5
  return x;
}

解释：比如对于一个8位的整数122，用二进制表达0111 1010（abcd efgh），第1行代码的功能是x=0b0d 0f0h+0a0c 0e0g，两位一组，分别计算四组（a,b; c,d; e,f; g,h; ）中1的个数，本例中x=0101 0000+0001 0101=0110 0101（更新的abcd efgh），在此基础上，再分组，就是第二行的功能x=00cd 00gh+00ab 00ef，四位一组（abcd； efgh），分别计算这两组包含1的个数，本例中x=00100001+0001 0001=0011 0010（更新abcd efgh），再8位一组，如第三行所示，x=0000 efgh+0000abcd=0000 0010+0000 0011=0000 0101=5，所以该整数122共包含5个1。

本算法思想：归并，对于一个32位的整数，先分成16组，统计每组（2位）中1的个数，再将统计的结果两两合并，得到8组，在此基础上又合并得到4组，2组，1组，进而得到最终结果。