析取范式，合取范式

析取范式与合取范式

定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。

仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。

仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。

例如，文字：p,┐q,r,q.

简单析取式: p,q,p∨q,p∨┐p∨r,┐p∨q∨┐r.

简单合取式: p,┐r,┐p∧r,┐p∧q∧r,p∧q∧┐q.

定理2.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。

（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。

定义2.3（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。

（2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

（3）析取范式与合取范式统称为范式。

例如，析取范式：（p┐∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r.

合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r.

定理2.2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。

（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

范式的特点：

（1） 范式中不出现联结词→、«，求范式时可消去：

A→Bó┐A∨B

A«Bó(┐A∨B)∧(A∨┐B)

（2）范式中不出现如下形式的公式：

┐┐A, ┐(A∧B), ┐(A∨B)

因为：┐┐AÛA

┐(A∧B)Û┐A∨┐B

┐(A∨B)Û┐A∧┐B

（3）在析取范式中不出现如下形式的公式：

A∧(B∨C)

在合取范式中不出现如下形式的公式：

A∨(B∧C)

因为：A∧(B∨C)Û(A∧B)∨(A∧C)

A∨(B∧C)Û(A∨B)∧(A∨C)

定理2.3 (范式存在定理)任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。