频率域图像处理基础

     谈到频率域，就不得不说傅里叶变换了。傅里叶是18世纪法国的一位伟大的数学家。他最大的贡献在于指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或者余弦和的形式，每个正弦或者余弦乘以不同的系数（也就是被大家所熟知的傅里叶级数）。无论函数有多复杂，只要它是周期性的，并且满足一定的数学条件，就一定可以用这样的正弦和或者余弦和的形式来表示。甚至在有些情况下，非周期函数也可以用正弦和或者余弦和的形式来表示。用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换来重建，而不会丢失任何信息。而正是这些所谓的“傅里叶变换”使得我们可以工作于频率域。

单变量函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为：

  ,其中；相反，如果已知F(u)，通过傅里叶反变换就可以获得f(x):

这两个式子组成了傅里叶变换对。另外，这两个式子可以很容易的扩展到两个变量u和v：

      （1）

      （2）

需要提醒的是，以上定义，是针对连续函数而言，而对于图像这种离散函数，需要用“离散傅里叶变换（DFT）”来进行表示：

   （3）

DFT的反变换定义为：

    （4）

为了计算式（3）中的F(u)，首先在指数项中带入u=0,然后，将所有x值相加。对所有M个u值重复这一过程，从而可获得完整的傅里叶变换。

离散变换对的一个重要特征是，不像连续的情况，不必关心DFT或者它的反变换是否存在，因为它们总是存在的。因此，对于数字图像处理而言，离散变换或者其反变换的存在不是问题。

需要注意的是：根据欧拉公式：

     （5）

将（5）带入（3），并且  ，可得： 

   （6）

其中，u=0,1,2,...,M-1;不难发现，傅里叶变换的每一项（对于每一个u值，F(u)的值）由函数f(x)的所有值组成。而f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。因为u决定了变换的频率成分，所以被称为F(u)的频率域。一个恰当的比喻是将傅里叶变换看做是一个玻璃棱镜。棱镜可以将白色的光线分成不同颜色成分的仪器，每个成分的颜色由波长（或者频率）决定。傅里叶变换可以看做是“数学的棱镜”，将函数基于频率成分分为不同的成分。同样的道理，傅里叶变换使得我们可以通过频率成分来分析一个函数。

正如在复数的分析中那样，我们发现，有时在极坐标下表示F(u)很方便：

其中      （7）

上式称为傅里叶变换的幅度或者频率谱，同时：

    （8）

上式称为傅里叶变换的相角或者相位谱。而R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。另外，有时候，我们会看到“功率谱”这个概念，它被定义为傅里叶变换的平方：

     （9）

需要注意的是：“谱密度”也用来指代功率谱。