0，1背包问题

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

此算法的空间复杂度和时间复杂度都为O(n*C)，其中N为物品数，C为背包容量，相当于遍历了所有的可能性。

当然空间复杂度是可以优化的，对于：

 V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

我们可以只用一维数组存储V[j]来表示。

即有：

  V(j)=V(j)  j<w_i  

       V(j)=max{V(j) ,V(j-w_i)+v_i) } j>w_i

我们不需要求出部分容量的最优结果时，采用这种存储是有好处的，但是这种存储损失掉了中间的某些信息

int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值int max(int a,int b){   if(a>=b)       return a;   else return b;}int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C){    int i,j;    for(i=0;i<=n;i++)        V[i][0]=0;    for(j=0;j<=C;j++)        V[0][j]=0;    for(i=0;i<=n-1;i++)        for(j=0;j<=C;j++)            if(j<w[i])                V[i][j]=V[i-1][j];            else                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);            j=C;            for(i=n-1;i>=0;i--)            {                if(V[i][j]>V[i-1][j])                {                x[i]=1;                j=j-w[i];                }            else                x[i]=0;            }            printf("选中的物品是:\n");            for(i=0;i<n;i++)                printf("%d ",x[i]);            printf("\n");        return V[n-1][C];        }void main(){    int s;//获得的最大价值    int w[15];//物品的重量    int v[15];//物品的价值    int x[15];//物品的选取状态    int n,i;    int C;//背包最大容量    n=5;    printf("请输入背包的最大容量:\n");    scanf("%d",&C);        printf("输入物品数:\n");    scanf("%d",&n);    printf("请分别输入物品的重量:\n");    for(i=0;i<n;i++)        scanf("%d",&w[i]);    printf("请分别输入物品的价值:\n");    for(i=0;i<n;i++)        scanf("%d",&v[i]);    s=KnapSack(n,w,v,x,C);    printf("最大物品价值为:\n");    printf("%d\n",s);       }